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数学第1章 直线与方程本章综合与测试精品测试题
展开直线与方程
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则|MN|=( )
A.10 B.180
C.6 D.6
解析:选D 由kMN==-,解得a=10,即M(-2,10),N(10,4),所以|MN|==6,故选D.
2.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则( )
A.m=-,n=1 B.m=-,n=-3
C.m=,n=-3 D.m=,n=1
解析:选D 依题意得:直线x-y=3的斜率为,∴其倾斜角为60°.∴-=-3,-=tan 120°=-,得m=,n=1.
3.将直线l沿x轴负方向平移3个单位长度,再沿y轴正方向平移1个单位长度后,又回到原来位置,那么直线l的斜率为( )
A.- B.-3
C. D.3
解析:选A 设直线l的方程为y=kx+b,根据平移规律平移后的直线方程为:y=k(x+3)+b+1即y=kx+3k+b+1,由题意得kx+b=kx+3k+b+1,解得k=-.
4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( )
A.3x-y-13=0 B.3x-y+13=0
C.3x+y-13=0 D.3x+y+13=0
解析:选C 由已知可知,l是过A且与AB垂直的直线,∵kAB==,∴kl=-3,由点斜式得,y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.
5.直线l1与直线l2:3x+2y-12=0的交点在x轴上,且l1⊥l2,则直线l1在y轴上的截距是( )
A.-4 B.4
C.- D.
解析:选C 设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,则k2=-.∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴k1=-=-=.设直线l1的方程为y=x+b,直线l2与x轴的交点为(4,0).将点(4,0)代入l1方程,得b=-.
6.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2
解析:选A 由直线l1与l2平行,可得解得a=-3.
7.直线l过点(-3,0),且与直线y=2x-3垂直,则直线l的方程为( )
A.y=-(x-3) B.y=-(x+3)
C.y=(x-3) D.y=(x+3)
解析:选B 因为直线y=2x-3的斜率为2,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(-3,0),故所求直线的方程为y=-(x+3),选B.
8.已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A.3 B.
C. D.
解析:选B 由于所给的两条直线平行,所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离.由两条平行直线间的距离公式,得d==,即|PQ|的最小值为.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程可能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
解析:选AC 当直线过原点时,可得斜率为=2,故直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1,代入点(1,2),可得-=1,解得a=-1,直线方程为x-y+1=0,故所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.选项B、D不能同时满足题干中的两个条件.故选A、C.
10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
解析:选BC 对于A,d1==3>4;
对于B,d2=2<4;对于C,d3==4;
对于D,d4==>4,
所以符合条件的有B、C.
11.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是( )
A.存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
解析:选ABD 对于动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),当k=0时,斜率不存在,倾斜角为90°,故A正确;由方程组可得(2k+1)x=0,对任意的k,此方程有解,可得l1与l2有交点,故B正确;因为当k=-时,==成立,此时l1与l2重合,故C错误;由于直线l1:x-y-1=0的斜率为1,动直线l2的斜率为=-1-≠-1,故对任意的k,l1与l2都不垂直,故D正确.
12.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0不可能是( )
解析:选ACD 由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a,b同号时,l1与l2的斜率与截距也同号,此时选项A、C不可能正确,选项B正确;当a,b异号时,l1与l2的斜率与截距也异号,此时选项D不可能正确.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角,则实数a的取值范围是________.
解析:k==<0,得-2<a<1.
答案:(-2,1)
14.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则a=________,c=________.
解析:由题意,得=≠,所以a=-4,c≠-2.所以直线6x+ay+c=0的方程可化为3x-2y+=0.由两平行线间的距离公式,得=,即=2,解得c=2或-6.
答案:-4 2或-6
15.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.
解析:当截距为0时,直线的方程为y=-x,满足题意;当截距不为0时,设直线的方程为+=1(a≠0),把点(2,-3)代入直线方程可得a=5,此时直线方程为y=x-5.
答案:y=-x或y=x-5
16.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为________.
解析:由解得把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,所以m=-5-2n,所以点(m,n)到原点的距离d===≥ ,当n=-2时等号成立,此时m=-1.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为.
答案:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1).
(1)求直线l的方程;
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标.
解:(1)∵k=tan 135°=-1,
∴l:y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)设A′(a,b),
则解得a=-2,b=-1,
∴A′的坐标为(-2,-1).
18.(本小题满分12分)在①与直线x+y=0垂直;②与直线x+y=0平行,这两个条件中任选一个补充到下面的问题中,然后解答补充完整的题目.
已知直线l经过点P(-2,1),________.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为,求直线m的方程.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
解:若选条件①:(1)由题意得直线l的斜率为1,
故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.
(2)由直线m与直线l平行,
可设直线m的方程为x-y+C=0,
由点到直线的距离公式得=,
即|C-3|=2,解得C=1或C=5.
故直线m的方程为x-y+1=0或x-y+5=0.
若选条件②:
(1)由题意得直线l的斜率为-1,故直线l的方程为y-1=-(x+2)即x+y+1=0.
(2)由直线m与直线l平行可设直线m的方程为x+y+C=0,由点到直线的距离公式得=,
即|c-1|=2,解得c=3或c=-1,
故直线m的方程为x+y-1=0或x+y+3=0.
19.(本小题满分12分)已知直线l的方程为(m+2)x-my-3m-8=0,m∈R.
(1)求证:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
(2)若直线l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程.
解:(1)证明:直线l的方程为(m+2)x-my-3m-8=0,m∈R,即m(x-y-3)+(2x-8)=0,
令解得故直线l恒过定点P(4,1).
(2)直线l方程为(m+2)x-my-3m-8=0,
当直线l不经过原点且在x轴,y轴上的截距相等时,
即令y=0,可得x=,
再令x=0,可得y=-,
由=-,可得m=-1,
故直线l的方程为x+y-5=0.
当直线l经过原点时,-3m-8=0,得m=-,故直线l的方程为x-4y=0.
综上,所求直线l的方程为x+y-5=0或x-4y=0.
20.(本小题满分12分)如图,已知点A(2,3),B(4,1),△ABC是以AB为底边的等腰三角形,点C在直线l:x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)由题意可知,E为AB的中点,
∴E(3,2),且kCE=-=1,
∴CE所在直线方程为y-2=x-3,即x-y-1=0.
(2)由得C(4,3),∴|AC|=|BC|=2,AC⊥BC,
∴S△ABC=|AC|·|BC|=2.
21.(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(m,n),B(2,1),C(-2,3).
(1)求BC边所在直线的一般式方程;
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+c=0,且S△ABC=7,求点A的坐标.
解:(1)因为B(2,1),C(-2,3),所以BC边所在直线的斜率为kBC==-.
又因为直线过点B(2,1),
所以BC边所在直线的方程为y-1=-(x-2),
化为一般式为x+2y-4=0.
(2)BC边上的中点D的坐标为(0,2),且点D在直线2x-3y+c=0上,则-6+c=0,解得c=6.
即中线AD所在直线的方程为2x-3y+6=0.
因为点A在中线上,所以2m-3n+6=0.
因为|BC|====2,点A到直线x+2y-4=0的距离d=,S△ABC=7,
所以S△ABC=×2×=7,
整理得|m+2n-4|=7,所以m+2n-4=7或m+2n-4=-7,
即m+2n-11=0或m+2n+3=0.
由得此时A(3,4).
由得此时A(-3,0).
综上,点A的坐标为(3,4)或(-3,0).
22.(本小题满分12分)已知10条直线:
l1:x-y+c1=0,c1=,
l2:x-y+c2=0,
l3:x-y+c3=0,
…
l10:x-y+c10=0,其中c1<c2<…<c10.
这10条直线中,每相邻两条直线之间的距离依次为2,3,4,…,10.求:
(1)c10;
(2)x-y+c10=0与x轴、y轴围成的图形的面积.
解:(1)原点O到l1的距离为d1==1,
原点O到l2的距离为d2=1+2,
原点O到l3的距离为d3=1+2+3,
…
原点O到l10的距离为d10=1+2+3+…+10=55.
因为d10=,所以c10=55.
(2)由(1)知,直线l10的方程为x-y+55=0,其与x轴交于点M(-55,0),与y轴交于点N(0,55),则△OMN的面积为S△OMN=|OM|×|ON|=×(55)2=3 025.
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