广东省2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份广东省2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则( )
A．B．C．D．
2．已知集合，则( )
A．B．C．D．
3．已知事件A,B互斥，且满足，则( )
A．0.25B．0.35C．0.4D．0.75
4．向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A．B．C．D．
5．已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为( )
A．B．C．D．
6．已知椭圆C的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为B，则( )
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则( )
A．0B．C．4D．
8．已知D为双曲线右支上一点，过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A,B，则( )
A．2B．C．D．
二、多项选择题
9．为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下：（单位：环），则这组样本数据的( )
A．极差为4B．平均数是8C．上四分位数是9D．方差为4
10．已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则( )
A．存在和实数t，使得
B．不存在和实数t，满足
C．存在和实数t，满足
D．若存在实数t满足，则只能是指数函数
11．已知，圆，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交y轴于A,B两点，设，则( )
A．当点N在y轴上时，
B．的取值范围是
C．
D．
三、填空题
12．小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为．（用数字作答）
13．已知正数a,b满足，则的最小值为．
14．若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数．
四、解答题
15．已知的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且．
(1)求C；
(2)若，求外接圆的半径．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：．
17．已知抛物线的焦点为F，以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求C的方程；
(2)讨论过点的直线l与C的交点个数．
18．在三棱锥中，底面ABC,分别为的中点，E为线段PA上一点，平面底面ABC．
(1)若，求二面角的余弦值；
(2)求．
19．已知数列一共有项，成公差不为0的等差数列，对任意的成等差数列，且对于不同的，其公差为同一个非零常数．
(1)若，求数列的各项之和；
(2)证明：成等差数列；
(3)从中任取三个数，记成等差数列且也成等差数列的概率为，证明：．
参考答案
1．答案：A
解析：由，
得．
故选：A
2．答案：C
解析：或，
，
故．
故选：C
3．答案：D
解析：根据题意，由全概率公式可得：
．
故选：D
4．答案：B
解析：因为，则，
所以在上的投影向量为
．
故选：B
5．答案：C
解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为，
由，得，故，
所以圆锥的体积．
故选：C
6．答案：D
解析：设椭圆C的中心为O，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，．
因为椭圆C的离心率为，
所以在直角三角形中，
，
故，．
故选：D
7．答案：C
解析：设的最小正周期为T，
依题意，得，解得，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：C
8．答案：C
解析：设坐标原点为，易知C的渐近线的方程为，
联立
解得，
不妨取，
同理可得，
则，
因为四边形OABD是平行四边形，
于是，
由于点D在C上，
所以，
因此，
故C正确.
故选：C
9．答案：ABC
解析：将这组数据从小到大排序得，
对于A，这组数据的极差为，故A正确；
对于B，平均数为，故B正确；
对于C，因为，所以上四分位数为，故C正确；
对于D，方差为，
故D错误
故选：ABC
10．答案：AC
解析：令，则存在实数使得，A正确；
存在，故B错误；
令，则，C正确；
若，，故D错误．
故选：AC
11．答案：ACD
解析：
当N在y轴上时，，
则，
则，故A正确；
设且，则，
代入得，
可得N在以坐标原点O为圆心、为半径的圆上运动，
又圆N交y轴于A,B，故，故B错误；
以PF为直径的圆N的方程可写为，
令，可得，
即，
则分别为方程的两根，
由韦达定理得，故C正确；
要证，
即证，
，
，
所以，
即，
故D正确
故选：ACD
12．答案：70
解析：依题意，两种饮料都至少买1种的买法种数为.
故答案为：70
13．答案：
解析：由题意可得，故，又，
所以，
当且仅当，
即时取等号．
故答案为：．
14．答案：
解析：等号左边的分子和分母同时除以，等号右边的分子和分母同时除以，
分离出参数，
设，
则当时，单调递增，
当时，单调递减，
且时，时，，且方程有唯一解，
故．
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)2
解析：(1)由题意得，
又，
，
化简得，
又
(2)在中由余弦定理得，
，
设的外接圆半径为R，故，
外接圆的半径为2
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，即切点为，
又，则，即在点的切线的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即．
(2)当时，，，
令，
则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，
即当时，，则在上单调递减；
当时，，即当时，，则在上单调递增，
故．
17．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形FAB，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，解得（负值舍去），
所以C的方程为．
(2)若直线l的斜率存在，设l的方程为．
由方程组
可得．
（Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，l与C只有一个公共点；
（Ⅱ）当时，方程的根的判别式为，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，l与C只有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，l与C有两个公共点；
（ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，l与C没有公共点；
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，易知l与C没有公共点．
综上，当l的方程为或的斜率或时，l与C的交点个数为0；当l的斜率或或时，l与C的交点个数为1；当l的斜率时，l与C的交点个数为2
18．答案：(1)
(2)
(2)由(1)平面EBN，得，又得，则得，又，故
解析：(1)
连接AM交BN于点O，连接MN，
因为分别为的中点，
所以，，，
所以，
则，
所以，
又平面底面ABC，平面底面，平面ABC，
所以平面EBN.
以A为坐标原点，所在的直线分别为x,y轴，
过点A作垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,
，,
得平面EBN的一个法向量为,
设平面PAC的一个法向量为，
则，可得，
令，则，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为．
(2)由(1)知，平面EBN，
又平面EBN，
所以，
因为底面ABC，平面ABC，
则，
又平面AMP，
故，又，
所以．
19．答案：(1)45
(2)答案见解析
(3)答案见解析
解析：(1)由题意得，
又由数列的定义知，
则可得数列各项如图所示．
则数列的各项之和为．
(2)
如数表所示，即证明左上至右下的对角线上的数成等差数列，
由数列的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，设公差为，
每列也为等差数列且公差相同，设公差为，
那么，
那么数列是以为首项，为公差的等差数列．
(3)不妨将数表中的每个数看作一个点，若P,Q,R三点共线，且关于中间的一点中心对称，则显然这三个点对应的数构成等差数列．
在该数表中，只需要横行投影成等差数列，且纵列投影成等差数列即可，
先对横行进行分析，在m个数中取三个数得到不相同的等差数列的方法数，
①若m为偶数，则公差为的等差数列的个数为，公差为的个数为，公差为的个数为2，共有个等差数列，
此时p,q,r成等差数列且也成等差数列的总取法数为，
则
②若m为奇数，由上分析，同理可得每横行可以产生个等差数列，
此时p,q,r成等差数列且也成等差数列的总取法数为，
则
综上所述：成立
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
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