江苏省苏州市吴江区运河实验初级中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省苏州市吴江区运河实验初级中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
答案：C．
2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．0.5D．0.25
答案：D．
3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
答案：C．
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
答案：A．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
答案：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
答案：C．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
答案：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．2
答案：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ 0 ．
10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ﹣3 ．
12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 26 寸．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 4+6 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，
（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），
x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（3）2y2﹣5y+2＝0，
（2y﹣1）（y﹣2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，
∴y1＝，y2＝2；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，
∴m＝＝，
∴m1＝，m2＝．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 6cm＜r＜10cm ．
解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半径为6cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．
解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，
方程化为x2+2x﹣8＝0，
设方程的另一根为x2，
则2+x2＝﹣2，
解得x2＝﹣4，
即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
（1）证明：根据题意得k≠0，
∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，
而k为整数，
∴2k﹣1≠0，
∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
∵k直角三角形的两直角边，
∴+＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，
∴（）2﹣2×＝，
∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），
∴k＝2．
22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
24．【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
​
【解决问题】：
（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 12 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 6 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，
此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），
点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），
同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，
∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；
故答案为：12；
（2）不对，理由如下：
当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，
∵OP2+PQ2＝42+62＝52，
OQ2＝82＝64，
∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，
∴PQ与⊙O不相切；
（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，
∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；
故答案为：6；
②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，
设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，
如图，连接P′P交OH于点D，
∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，
∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，
∴四边形PQQ′P′为矩形，
∴QQ′∥PP′，
∵OH⊥QQ′，
∴OD⊥PP′，
∴PD＝P′D，
∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），
在Rt△POD中，cs∠DOP＝＝＝，
∴∠DOP＝60°，
∴∠POP′＝120°，
∴S扇形POP′＝＝（平方分米），
即扇形面积的最大值平方分米．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG＝90°，
∵∠G＝40°，
∴∠GOD＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝65°，
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝115°；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴＝，
∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣2，
∴＝，
∴r＝3，
即⊙O的半径是3．
26．阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；
求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．
以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ﹣3 ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，；
故答案为：﹣3；；
（2）方程的两边平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，当x＝﹣1时，，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程的解是：x＝3；
（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，，，
∴，
∴，
两边平方，得：
．
整理，得：，
两边平方并整理，得：
x2﹣21x+90＝0，
解得x1＝15，x2＝6，
经检验，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6不合题意，舍去．
答：AP的长为15m．
27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形 √
（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝ √
（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形 ×
性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；
拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．
解：理解定义，当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；
当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；
性质探究，
（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案为√；
（2）如图1，过顶点A作AD⊥BC于点D，
设AB＝4a，
则BC＝2a，BD＝CD＝BC＝a，
在Rt△ABD中，AD＝＝a，
∴tan∠B＝＝，
故答案为√；
（3）如图2，图中共有5个倍腰三角形，分别是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC，
故答案为×；
性质应用，如图3，过顶点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
设BD为x，则根据性质有AD＝x，
在Rt△BOD中，
BD2+OD2＝OB2，
∴x2+（x﹣1）2＝12，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴BC＝，AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
∴倍腰三角形△ABC的面积为；
拓展应用，如图4，过点C作CM⊥AB于M，连接AO，HC，
则AM＝BM＝AB，
∵△ABE是倍腰三角形，AB＝AE，BE＝2，
∴AB＝AE＝4，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∵△ABC是倍腰三角形，
∴CA＝CB＝2AB＝8，
CM＝＝2，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴CM垂直平分AB，CM经过圆心O，
设半径为r，
∴在Rt△OMB中，
MB2+OM2＝OB2，
∴22+（2﹣r）2＝r2，
解得，r＝，
∴BH＝2r＝，
在Rt△CHB中，
HC＝＝，
∵∠ABG＝∠HCG，∠GAB＝∠GCH，
∴△ABG∽△HCG，
∴＝＝，
设CG＝x，则AG＝8﹣x，
∴＝＝，
∴GB＝x，HG＝﹣x，
∵HG+GB＝HB，
∴x+﹣x＝，
解得，x＝
∴CG的长为．