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江苏省苏州市吴江区实验初级中学2023-—2024学年九年级上学期10月月考数学试卷
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这是一份江苏省苏州市吴江区实验初级中学2023-—2024学年九年级上学期10月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．0.5D．0.25
3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ ．
10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ．
12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ °．
14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 寸．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
24．【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
【解决问题】：
（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．
26．阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；
求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．
以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形
（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝
（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形
性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；
拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．
解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．0.5D．0.25
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，
解得：a≤，
观察选项只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可．
解：二次项系数化1，得 ，
加一次项系数一半的平方，得 ，
整理，得 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
【分析】逐一分析每个选项即可．
解：同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧才相等，故选项A不符合题意；
相等的弧所对的圆周角相等，故选项B符合题意；
平面内，不共线的三点才能确定一个圆，故选项C不符合题意；
三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的相关知识点，熟练掌握圆的性质定理是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．
解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF＝BD＝2，
F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
解：∵∠BOD＝100°，
∴∠BAD＝100°÷2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD
＝180°﹣50°
＝130°
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．2
【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则FM＝GH，由垂径定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三线合一﹣得到DH＝HB＝DB，从而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到结论．
解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，
则四边形FGHM是矩形，
FM＝GH，
∵FG⊥AB，
∴AG＝DG＝AD，
∵ED＝EB，EH⊥AB
∴DH＝HB＝DB，
∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2
∴FM＝2，
∵EF≥FM，
∴EF的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的最小值，熟练掌握直角三角形的中线定理与矩形的判定等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ 0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．
解：由题意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．
解：∵⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径r＝2，
∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，
∴直线l与⊙O相离．
故答案为：相离．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ﹣3 ．
【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．
解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，
所以2a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：解方程x2﹣12x+35＝0，
得x1＝5，x2＝7，
∵1＜第三边＜7，
∴第三边长为5，
∴周长为3+4+5＝12．
【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 26 寸．
【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．
解：1尺＝10寸．
根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．
设圆O的半径为R，
（R﹣1）2+52＝R2，
∴R＝13寸，
∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．
故答案为：26．
【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 4+6 ．
【分析】作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，从而得到2+t＝2t，然后解关于t的方程即可．
解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，
∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，
∴AH＝OB＝t，
∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠OBE＝60°，
∴∠OEB＝30°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，
在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴2+t＝2t，
∴t＝4+6．
故答案为：4+6．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．
【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．
解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．
∵AB⊥CH，
∴EC＝EH，
∵CF＝FD，
∴EF＝DH，
∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，
∴CH＝＝＝，
∴CE＝，
∴EF最大时，EC的长为，
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，
（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），
x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（3）2y2﹣5y+2＝0，
（2y﹣1）（y﹣2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，
∴y1＝，y2＝2；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，
∴m＝＝，
∴m1＝，m2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 6cm＜r＜10cm ．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半径为6cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．
【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，则方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．
解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，
方程化为x2+2x﹣8＝0，
设方程的另一根为x2，
则2+x2＝﹣2，
解得x2＝﹣4，
即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到Δ＝（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1•x2，则根据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，由于k为整数，则2﹣＞0，于是得到结论．
【解答】（1）证明：根据题意得k≠0，
∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，
而k为整数，
∴2k﹣1≠0，
∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
∵k直角三角形的两直角边，
∴+＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，
∴（）2﹣2×＝，
∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），
∴k＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．
22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论．
解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24．【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
【解决问题】：
（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 12 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 6 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
【分析】（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，根据勾股定理求出HQ＝6分米，利用对称性，即可求出滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离；
（2）当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否满足勾股定理，来判断PQ与⊙O是否相切；
（3）①当点P到l的距离最大时，PQ⊥l，结合PQ的长即可得到答案；
②当点P的l的距离最大时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，连接P′P交OH于点D，易求得OD＝2分米，利用锐角三角函数可得cs∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，则∠POP′＝120°，再利用扇形的面积公式计算即可．
解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，
此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），
点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），
同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，
∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；
故答案为：12；
（2）不对，理由如下：
当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，
∵OP2+PQ2＝42+62＝52，
OQ2＝82＝64，
∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，
∴PQ与⊙O不相切；
（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，
∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；
故答案为：6；
②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，
设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，
如图，连接P′P交OH于点D，
∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，
∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，
∴四边形PQQ′P′为矩形，
∴QQ′∥PP′，
∵OH⊥QQ′，
∴OD⊥PP′，
∴PD＝P′D，
∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），
在Rt△POD中，cs∠DOP＝＝＝，
∴∠DOP＝60°，
∴∠POP′＝120°，
∴S扇形POP′＝＝（平方分米），
即扇形面积的最大值平方分米．
【点评】本题主要考查勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理、扇形的面积公式、解直角三角形，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；
（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG＝90°，
∵∠G＝40°，
∴∠GOD＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝65°，
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝115°；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴＝，
∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣2，
∴＝，
∴r＝3，
即⊙O的半径是3．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
26．阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；
求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．
以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ﹣3 ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
【分析】（1）将方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，可得：2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，分别求出两个方程的解即可得到原方程的解；
（2）将方程两边平方转化成一元二次方程，解这个一元二次方程，检验，即可得出结论；
（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，利用勾股定理分别表示出BP，PC的长度，依据题意列出方程，利用转化的思想方法解这个方程，检验并依据题意对答案进行取舍即可．
解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，；
故答案为：﹣3；；
（2）方程的两边平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，当x＝﹣1时，，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程的解是：x＝3；
（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，，，
∴，
∴，
两边平方，得：
．
整理，得：，
两边平方并整理，得：
x2﹣21x+90＝0，
解得x1＝15，x2＝6，
经检验，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6不合题意，舍去．
答：AP的长为15m．
【点评】本题主要考查了利用转化的思想解无理方程，一元二次方程的解法，方程的增根，利用转化的思想解高次方程和无理方程是解题的关键．
27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形 √
（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝ √
（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形 ×
性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；
拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．
【分析】理解定义，由三角形的两边之和大于第三边可知倍腰三角形的腰是底边的2倍，当底边是2时，周长为10；当腰是2时，周长为5；
性质质探究：（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形；
（2）通过三角函数可求出倍腰三角形底角的三角函数值；
（3）图1中共有5个倍腰三角形，分别是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC；
性质应用：根据倍腰三角形的性质及勾股定理可求出倍腰三角形的高及底，可求出其面积；
拓展应用：通过倍腰三角形的性质及垂径定理求出⊙O的半径，直径，设CG的长为x，再通过相似三角形将HG，BG用含x的代数式表示出来，由直径的长度可列出方程，解方程即可．
解：理解定义，当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；
当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；
性质探究，
（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案为√；
（2）如图1，过顶点A作AD⊥BC于点D，
设AB＝4a，
则BC＝2a，BD＝CD＝BC＝a，
在Rt△ABD中，AD＝＝a，
∴tan∠B＝＝，
故答案为√；
（3）如图2，图中共有5个倍腰三角形，分别是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC，
故答案为×；
性质应用，如图3，过顶点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
设BD为x，则根据性质有AD＝x，
在Rt△BOD中，
BD2+OD2＝OB2，
∴x2+（x﹣1）2＝12，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴BC＝，AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
∴倍腰三角形△ABC的面积为；
拓展应用，如图4，过点C作CM⊥AB于M，连接AO，HC，
则AM＝BM＝AB，
∵△ABE是倍腰三角形，AB＝AE，BE＝2，
∴AB＝AE＝4，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∵△ABC是倍腰三角形，
∴CA＝CB＝2AB＝8，
CM＝＝2，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴CM垂直平分AB，CM经过圆心O，
设半径为r，
∴在Rt△OMB中，
MB2+OM2＝OB2，
∴22+（2﹣r）2＝r2，
解得，r＝，
∴BH＝2r＝，
在Rt△CHB中，
HC＝＝，
∵∠ABG＝∠HCG，∠GAB＝∠GCH，
∴△ABG∽△HCG，
∴＝＝，
设CG＝x，则AG＝8﹣x，
∴＝＝，
∴GB＝x，HG＝﹣x，
∵HG+GB＝HB，
∴x+﹣x＝，
解得，x＝
∴CG的长为．
【点评】本题考查了新定义倍腰三角形及其性质，相似三角形的性质，勾股定理等，解题关键是认真审题，要善于归纳总结新知识．
1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．0.5D．0.25
3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ ．
10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ．
12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ °．
14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 寸．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
24．【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
【解决问题】：
（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．
26．阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；
求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．
以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形
（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝
（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形
性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；
拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．
解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．0.5D．0.25
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，
解得：a≤，
观察选项只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可．
解：二次项系数化1，得 ，
加一次项系数一半的平方，得 ，
整理，得 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
【分析】逐一分析每个选项即可．
解：同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧才相等，故选项A不符合题意；
相等的弧所对的圆周角相等，故选项B符合题意；
平面内，不共线的三点才能确定一个圆，故选项C不符合题意；
三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的相关知识点，熟练掌握圆的性质定理是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．
解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF＝BD＝2，
F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
解：∵∠BOD＝100°，
∴∠BAD＝100°÷2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD
＝180°﹣50°
＝130°
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．2
【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则FM＝GH，由垂径定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三线合一﹣得到DH＝HB＝DB，从而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到结论．
解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，
则四边形FGHM是矩形，
FM＝GH，
∵FG⊥AB，
∴AG＝DG＝AD，
∵ED＝EB，EH⊥AB
∴DH＝HB＝DB，
∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2
∴FM＝2，
∵EF≥FM，
∴EF的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的最小值，熟练掌握直角三角形的中线定理与矩形的判定等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ 0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．
解：由题意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．
解：∵⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径r＝2，
∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，
∴直线l与⊙O相离．
故答案为：相离．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ﹣3 ．
【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．
解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，
所以2a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：解方程x2﹣12x+35＝0，
得x1＝5，x2＝7，
∵1＜第三边＜7，
∴第三边长为5，
∴周长为3+4+5＝12．
【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 26 寸．
【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．
解：1尺＝10寸．
根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．
设圆O的半径为R，
（R﹣1）2+52＝R2，
∴R＝13寸，
∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．
故答案为：26．
【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 4+6 ．
【分析】作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，从而得到2+t＝2t，然后解关于t的方程即可．
解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，
∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，
∴AH＝OB＝t，
∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠OBE＝60°，
∴∠OEB＝30°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，
在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴2+t＝2t，
∴t＝4+6．
故答案为：4+6．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．
【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．
解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．
∵AB⊥CH，
∴EC＝EH，
∵CF＝FD，
∴EF＝DH，
∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，
∴CH＝＝＝，
∴CE＝，
∴EF最大时，EC的长为，
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，
（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），
x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（3）2y2﹣5y+2＝0，
（2y﹣1）（y﹣2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，
∴y1＝，y2＝2；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，
∴m＝＝，
∴m1＝，m2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 6cm＜r＜10cm ．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半径为6cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．
【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，则方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．
解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，
方程化为x2+2x﹣8＝0，
设方程的另一根为x2，
则2+x2＝﹣2，
解得x2＝﹣4，
即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到Δ＝（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1•x2，则根据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，由于k为整数，则2﹣＞0，于是得到结论．
【解答】（1）证明：根据题意得k≠0，
∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，
而k为整数，
∴2k﹣1≠0，
∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
∵k直角三角形的两直角边，
∴+＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，
∴（）2﹣2×＝，
∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），
∴k＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．
22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论．
解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24．【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
【解决问题】：
（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 12 分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 6 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
【分析】（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，根据勾股定理求出HQ＝6分米，利用对称性，即可求出滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离；
（2）当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否满足勾股定理，来判断PQ与⊙O是否相切；
（3）①当点P到l的距离最大时，PQ⊥l，结合PQ的长即可得到答案；
②当点P的l的距离最大时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，连接P′P交OH于点D，易求得OD＝2分米，利用锐角三角函数可得cs∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，则∠POP′＝120°，再利用扇形的面积公式计算即可．
解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，
此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），
点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），
同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，
∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；
故答案为：12；
（2）不对，理由如下：
当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，
∵OP2+PQ2＝42+62＝52，
OQ2＝82＝64，
∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，
∴PQ与⊙O不相切；
（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，
∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；
故答案为：6；
②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，
设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，
如图，连接P′P交OH于点D，
∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，
∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，
∴四边形PQQ′P′为矩形，
∴QQ′∥PP′，
∵OH⊥QQ′，
∴OD⊥PP′，
∴PD＝P′D，
∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），
在Rt△POD中，cs∠DOP＝＝＝，
∴∠DOP＝60°，
∴∠POP′＝120°，
∴S扇形POP′＝＝（平方分米），
即扇形面积的最大值平方分米．
【点评】本题主要考查勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理、扇形的面积公式、解直角三角形，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；
（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG＝90°，
∵∠G＝40°，
∴∠GOD＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝65°，
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝115°；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴＝，
∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣2，
∴＝，
∴r＝3，
即⊙O的半径是3．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
26．阅读材料：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；
求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．
以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ﹣3 ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
【分析】（1）将方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，可得：2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，分别求出两个方程的解即可得到原方程的解；
（2）将方程两边平方转化成一元二次方程，解这个一元二次方程，检验，即可得出结论；
（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，利用勾股定理分别表示出BP，PC的长度，依据题意列出方程，利用转化的思想方法解这个方程，检验并依据题意对答案进行取舍即可．
解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，；
故答案为：﹣3；；
（2）方程的两边平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，当x＝﹣1时，，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程的解是：x＝3；
（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，，，
∴，
∴，
两边平方，得：
．
整理，得：，
两边平方并整理，得：
x2﹣21x+90＝0，
解得x1＝15，x2＝6，
经检验，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6不合题意，舍去．
答：AP的长为15m．
【点评】本题主要考查了利用转化的思想解无理方程，一元二次方程的解法，方程的增根，利用转化的思想解高次方程和无理方程是解题的关键．
27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形 √
（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝ √
（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形 ×
性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；
拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．
【分析】理解定义，由三角形的两边之和大于第三边可知倍腰三角形的腰是底边的2倍，当底边是2时，周长为10；当腰是2时，周长为5；
性质质探究：（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形；
（2）通过三角函数可求出倍腰三角形底角的三角函数值；
（3）图1中共有5个倍腰三角形，分别是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC；
性质应用：根据倍腰三角形的性质及勾股定理可求出倍腰三角形的高及底，可求出其面积；
拓展应用：通过倍腰三角形的性质及垂径定理求出⊙O的半径，直径，设CG的长为x，再通过相似三角形将HG，BG用含x的代数式表示出来，由直径的长度可列出方程，解方程即可．
解：理解定义，当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；
当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；
性质探究，
（1）由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案为√；
（2）如图1，过顶点A作AD⊥BC于点D，
设AB＝4a，
则BC＝2a，BD＝CD＝BC＝a，
在Rt△ABD中，AD＝＝a，
∴tan∠B＝＝，
故答案为√；
（3）如图2，图中共有5个倍腰三角形，分别是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC，
故答案为×；
性质应用，如图3，过顶点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
设BD为x，则根据性质有AD＝x，
在Rt△BOD中，
BD2+OD2＝OB2，
∴x2+（x﹣1）2＝12，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴BC＝，AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
∴倍腰三角形△ABC的面积为；
拓展应用，如图4，过点C作CM⊥AB于M，连接AO，HC，
则AM＝BM＝AB，
∵△ABE是倍腰三角形，AB＝AE，BE＝2，
∴AB＝AE＝4，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∵△ABC是倍腰三角形，
∴CA＝CB＝2AB＝8，
CM＝＝2，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴CM垂直平分AB，CM经过圆心O，
设半径为r，
∴在Rt△OMB中，
MB2+OM2＝OB2，
∴22+（2﹣r）2＝r2，
解得，r＝，
∴BH＝2r＝，
在Rt△CHB中，
HC＝＝，
∵∠ABG＝∠HCG，∠GAB＝∠GCH，
∴△ABG∽△HCG，
∴＝＝，
设CG＝x，则AG＝8﹣x，
∴＝＝，
∴GB＝x，HG＝﹣x，
∵HG+GB＝HB，
∴x+﹣x＝，
解得，x＝
∴CG的长为．
【点评】本题考查了新定义倍腰三角形及其性质，相似三角形的性质，勾股定理等，解题关键是认真审题，要善于归纳总结新知识．
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