2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）在同一平面内，已知的半径是5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．无法确定
3．（3分）如图，在中，点，分别在，上，且，若，，，则的长是
A．3B．C．5D．
4．（3分）如图，点，，在上，，点是的中点，则的度数是
A．B．C．D．
5．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是
A．1B．C．2D．
6．（3分）如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？
A．甲更稳定B．乙更稳定C．一样稳定D．无法判断
7．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得的估计值为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，是，的外接圆，，若，，则的半径为
A．B．5C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）方程的根是 ．
10．（3分）在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下（单位：分），8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是 ．
11．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ．
12．（3分）如图是一个照相机成像的示意图．如果为，点到的距离是，那么拍摄外的景物的长度是 米．
13．（3分）设，是方程的两个根，则 ．
14．（3分）如图，点是的外心，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线，射线，与交于点．连接，连接，若，则的度数为 ．
15．（3分）如图，直线，交于点，，点是上一点，，点从点出发，以的速度沿射线运动．以点为圆心，长为半径作，若点运动的时间为，当与直线相切时，则的值为 秒．
16．（3分）在同一平面直角坐标系中有，，三点，已知点，，点是第一象限内的一个动点，且．当最长时，点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（6分）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和的值．
19．（6分）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点．
（1）求的值；
（2）与的面积的比为 ．
20．（6分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．
所得的结果如图所示．
（1）这40名学生上周阅读时间的众数为 小时，中位数为 小时；
（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？
21．（6分）如图，点是矩形中边上一点，将沿着翻折，点恰好落在上的点处．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（8分）如图，的圆心与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
（1）若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为．
①求扇形的弧长；
②则的值为 ；
（2）上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为 ．
23．（6分）定义新运算“⊕”：对于实数，，，，有，⊕，，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：，⊕，．
（1）求关于的方程，⊕，的根；
（2）若关于的方程，⊕， 有两个实数根，求的取值范围．
24．（6分）如图，直线经过上的一点，是的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
25．（8分）为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．
（1）若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．
（2）村里的猕猴桃成本为3元个，平时按5元个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？
26．（10分）已知矩形中，，点是对角线上一点，且，点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为，点从点出发，沿方向运动，速度为，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，，两点运动停止．
（1）如图1，点在线段（包含端点）上运动时，与的函数图像如图2所示，则的长为 ；
（2）在（1）的条件下，如图3，点在线段上运动：
①若，求此时的值；
②若，求此时的值．
图1 图2 图3
27．（10分）如图1所示，已知是的直径，点在半径上，点，点是圆上的点，，点是半径的中点，与交于点，连接，．
图1 图2
（1）如果，连接，如图2所示；
①则的度数为 ；
②若，，求线段的长；
（2）若，，求的值．
2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
17．解：（1），
，
或，
，.
（2），
，
，
或．
，．
18．解：把代入方程得，解得，
方程化为，
设方程的另一根为，
则，解得，
即方程的另一个根为8，的值为16．
19．解：（1）四边形为平行四边形，
，，
，，．
，，.
（2）
20．解：（1）7 6.5
（2）40名学生上周在家阅读的平均时长（时）．
21．（1）证明：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，可知，
，
，.
（2）解：四边形是矩形，，，
，，
由折叠的性质，知.
，，
，
由（1），知，，
即，解得．
22.解：（1）①扇形的弧长为.
②
（2）
如图，连接交于点，作于点，则的长是上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值，是正三角形的中心，，，，，上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为．
23．解：（1），⊕，，
，，
，
，
，.
（2），⊕，，
，
整理，得.
方程有两个实数根，
，，解得且．
24．解：（1）证明：如图，连接，
为的直径．
，
，，
，
即，
为的切线.
（2）如图，连接，，
，，，
，，
，即，.
点为的中点，，，
为中点，，
为的直径，，
，，
，，
，
，．
25．解：（1）设每周游客人数的平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每周游客人数的平均增长率为.
（2）设每个售价定为元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每个售价应定为7元．
26.解：（1）4
（2）①如图，过点作于点．
，，
，，．
在 △中，．
，解得，．
点在线段上运动，
，此时的值为3秒．
②如（2）①问图，过点作，交于点，交于点．
由题意，得，.
，，．
．．
同理，可得.
，
，
，，
，解得，．
，此时的值为秒．
27.解：（1）①45
②设的半径为，则，
，，
．
点是半径的中点，
．．
，，
，．
，，
，．
，
（负数不合题意，舍去）．
．
（2）延长交于点，连接，交于点，如图，
设，，
点是半径的中点，，
，
，．
，，
为的中位线，，
，，
，，，
，．
，，
，
，，，，
，
，，，
，，，
，，．
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2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
A
D
A
B
B
9.， 10.2 11. 12.3.5 13.11 14.14 15.6或30
16.