北京市第九中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（共40分）
1. 若集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用集合的并集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以=，
故选：A
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. y＝﹣x3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．
【详解】解：由于函数y＝x+1是非奇非偶函数，故排除A；
由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除B；
由于y＝﹣x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；
A，B，C都不对，
对于D，y，数形结合可知函数在R递增且为奇函数；
故选D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于基础题．
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】因为，，
所以.
所以.
故选：A
4. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案
【详解】设公比为，则，
解得或.
故选：D
5. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,
，即，
故选：D
6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系.
【详解】，
故选：D
7. “”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，根据与其解集的关系即可求出.
【详解】由解得：或，
当时，能推出或成立，反之，不能由或推出，
故“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分必要条件的判定，属于中档题.
8. 在ΔABC中，若，则角A是
A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定∠A的大小即可.
【详解】由结合正弦定理可得：，则
结合余弦定理有：，故∠C为钝角，则角A是锐角.
本题选择C选项.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
9. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为
A ；B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.
10. 在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得的最小值.
【详解】依题意可知，
，
则，又，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
由得，其中，
解得，因此的最小值为.
故选：B.
二、填空题（共25分）
11. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以的定义域为.
故答案为：
12. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】由扇形面积公式即可直接计算求解.
【详解】由题得扇形的面积是.
故答案为：.
13. 若将函数的函数图象平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，先求出的值，再比较即得解的最小值.
【详解】若将函数的函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，
根据所得图象为一个偶函数图象，故，，此时，；
若将函数的函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
根据所得图象为一个偶函数的图象，故，，此时，；
综上可得，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律及正弦函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
14. 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意先求出的正弦值、余弦值，再根据条件得到，再根据两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值、余弦值，然后求出点的坐标．
【详解】解：∵点在单位圆上，
∴，，
∵点沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，
∴点逆时针转动了，则，
∴，
，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正余弦公式，属于基础题．
15. 已知函数，给出下列结论：
①的单调递减区间；
②当时，直线y=k与y=f （x）的图象有两个不同交点；
③函数y=f（x）的图象与的图象没有公共点；
④当时，函数的最小值为2．
其中正确结论的序号是_________
【答案】①③
【解析】
【分析】①先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可判断；②根据函数的单调性画出函数的图象，通过图象读出即可；③求出f（x）的最大值小于y＝x2+1的最小值，从而得到答案；④利用对勾函数即可作出判断．
【详解】解：①f′（x），令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）在（1，+∞）递减，故①正确；
②∵f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）max＝f（1），
x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
∴当k∈（﹣∞，0）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有1个不同交点，
当k∈（0，）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有两个不同交点，故②错误；
③函数f（x），而y＝x2+1≥1，
∴函数y＝f（x）的图象与y＝x2+1的图象没有公共点，故③正确；
④当时，令t=，
在上单调递减，
∴，最小值不等于2，故④错误.
故答案为①③．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
三、解答题（共85分）
16. 已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项列出方程组求出首项与公差，即可得解；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为成等比数列，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以.
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求图象的对称轴方程；
（3）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），.
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式可将化简，从而求得其最小周期；
（2）利用整体代入法求得图象对称轴方程，从而得解；
（3）利用正弦函数的性质，结合整体法即可得解.
【小问1详解】
因为
，
所以的最小正周期为：；
【小问2详解】
令，得，
所以图象的对称轴方程为；
【小问3详解】
因为，所以，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
所以，.
18. 设函数，
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求取值范围.
【答案】（1），.
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)把代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；
(2)由函数的导函数在上恒小于等于0即可出a的范围；
(3)根据给定条件可得函数在区间内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.
【小问1详解】
当时，，则，由解得：或，
所以函数的单调增区间是，.
【小问2详解】
函数，则，因函数在区间上为减函数，则，成立，
即，，显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
【小问3详解】
由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】含有多个变量的处理方法是减少变量的个数，减少变量方法有：
（1）若这些变量之间有关系可以用它们之间的关系消元，如在本题中不等式含有三个变量，可以通过韦达定理代入的办法消去，，只剩下关系的不等式.
（2）若这些变量之间没有关系可以通过构造比值或差值消元，如证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式；证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式.
19. 在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理证明，由此可求，再结合内角和公式求；
（2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；
对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；
对于③：根据（1）中边的关系分析判断；
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，
由余弦定理可得，
即，则，所以.
【小问2详解】
对于①：边上的中线长为，
在，由余弦定理得
即，解得，
则，
所以的面积为；
对于②：因为，解得，
则，
所以的面积为；
对于③：若，这与相矛盾，不合题意；
20. 已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的零点；
（Ⅱ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 函数的零点为.
(2) 在区间上是增函数，在区间上是减函数
(3)见解析.
【解析】
【详解】（I）解，得所以函数的零点为－a
（II）函数在区域（－∞，0）上有意义，，
令
因为
当x在定义域上变化时，的变化情况如下：
所以在区间上是增函数，
在区间是减函数．
（III）在区间上存在最小值
证明：由（I）知-a是函数的零点，
因为
所以．
由知，当时，．
又函数在上减函数，
且．
所以函数在区间上的最小值为，且．
计算得．
21. 在无穷数列an中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．
（1）设数列an为，写出，，，的值；
（2）若an为等比数列，且，求的值．
（3）设，，直接写出的值．（用表示）
【答案】（1）
（2）243； （3）
【解析】
【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可；
（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；
（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值．
【小问1详解】
由使得成立的的最大值为，数列为，
得，则，
，则，
，则，
，则，
所以；
【小问2详解】
∵为等比数列，，，∴，
所以，
∵使得成立的的最大值为，
∴，，，，
，，
∴；
【小问3详解】
设，
因为，
所以，且 ，
所以数列中等于1的项有个，即个，
设，
则，且，
所以数列中等于2的项有个，即个，
以此类推，数列中等于的项有个.，
所以
，
即.
【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.
（）
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