北京市第二中学（通州校区）2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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2024.10
班级_______ 姓名________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 已知集合,则
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 中，“”是“”的（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充分且必要D. 既不充分也不必要
7. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，当时，取得最小值，则m取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是_____________．
12. 记为等差数列an的前项和.已知，，则______.
13. 已知向量，．若存在实数，使得与方向相同，则的一个取值为__________．
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，_________，_________.
15. 已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______.
三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.
16. 已知函数．
（1）求值；
（2）求的最小正周期；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
17. 在中，角所对的边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
18. 设函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.
条件①：的最大值为2；
条件②：图象关于点中心对称；
条件③：图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 在中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.
条件①：；
条件②：a=2；
条件③：．
21. 已知函数,其中．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;
（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．