已知直线的平移求相关参数模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

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一次函数平移前后，k值不变，且遵循以下的平移规律：上加下减，左加右减．
即：一次函数向上平移m个单位（）得到的函数解析式是；
向下平移m个单位（）得到的函数解析式是；
向左平移m个单位（）得到的函数解析式是；
向右平移m个单位（）得到的函数解析式是．
模型示例：
如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，求m的取值范围．
步：设出函数解析式，求出相关点的坐标：设平移后的直线解析式为．
∵，、、，
∴，．
第②步 求出直线经过的两个端点时m的值，进而求出答案：
当直线过时，，
解得：2，
当直线过时，，
解得：，
∵平移后的直线与边有交点，
∴．
适用范围：已知直线的平移，求相关的参数问题．
一求函数解析式，二求直线经过线段的两个端点时对应参数的值或范围
如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
A．
结合图形可知，一次函数的图象沿y轴向上运动时，最先经过B点，最后经过C点， 所以当一次函数的图象经过点B时，b有最小值；当一次函数的图象经过点C时，b有最大值；由此即可求解．
解：∵的顶点的坐标分别为，
∴，
将代入中，
解得；
将代入中，
解得；
∴若一次函数的图象与的边有交点，则b的取值范围为，
故选：A．
1．如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（ ）

A．B． C．D．
2．如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，的顶点A−4,0，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
5．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为 ．
6．已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取值范围是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边AB在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，点C的坐标为，将直线向下平移m个单位长度后，与正方形有且只有一个交点，则m的值为 ．
9．在平面直角坐标系中，，，，且．
(1)直接写出点A，B的坐标及c的值；
(2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标；
(3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系．
10．如图1，在平面直角坐标系中，、，的面积为6．
(1)求点A、B的坐标；
(2)如图2，将线段向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段，若的面积为4，求m的值；
(3)如图3，将线段平移得到线段，点B与点C对应，且，且，连交y轴于F，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象上的坐标特点，以及坐标与图形的变化-平移，掌握相关性质是解题的关键．
根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即可得的长度，进而可得的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可．
【详解】解：如图，连接．

∵点的坐标为点，沿轴向右平移后得到，
∴点的纵坐标是；
又∵点的对应点在直线上，
∴，
解得：，
∴的坐标为，可知向右平移了个单位长度，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化平移．先根据勾股定理求出，再由平移的性质得出，把代入，求出，再把代入，解得，即可求出点的坐标．
【详解】解：点、的坐标分别为，，
，
轴，，
．
将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），
．
直线经过点，
，解得，
直线经过点，
把代入，解得，
点的坐标为．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，求一次函数的解析式，勾股定理，理解题意，灵活运用平移的性质是解决本题的关键．首先可求得直线的解析式，利用勾股定理求出，求出直线的解析式，求出点的坐标，可得结论．
【详解】解：设直线的解析式为，
把A−4,0，分别代入解析式，得，
解得，
∴直线的解析式为，
，，
，
，，
，
，
，
∴直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可．
【详解】解：作，，垂足分别为，，
由图②知，当F点与重合时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
当F点与重合时，，
∴，
∴，即，
设图②中线段的解析式为，
∴，
解得，
∴图②中线段的解析式为，
当时，，
∴．
故选：A．
5．##2.5
【分析】本题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．利用一次函数平移规律，上加下减得出平移后函数解析式，变形后即可求得线段的长度．
【详解】解：把直线沿轴向上平移4个单位，得到直线为，
当时，，
解得 ，即．
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了一次函数的平移和性质，设平移后直线的解析式为，分别把，代入解析式求出的值，即可得到的取范围，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：设平移后直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得；
当直线经过点时，，
解得；
∴将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，的取范围为，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线y=2x，设点坐标为，由可得a=2，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，作于交于，
∵直线经过点，
∴，
∴直线y=2x，
设点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵a>0，
∴a=2，
∴点坐标为，
∴点，点，
把点代入得，，
解得；
把点代入得，，
解得；
∵点落在矩形的内部（不含边界），
∴，
故答案为：．
8．或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图象的平移、勾股定理等，求得点B和D的坐标是解答的关键．过B作轴于H，根据正方形的性质和坐标与图形求得，再证明得到，，则，，根据题意得到平移后的解析式为，由图知，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点，分别将点B、D坐标代入求得m值即可求解．
【详解】解：过B作轴于H，
∵正方形的面积为4，点C的坐标为，
∴，，，
∴，则，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，，则，
∴，
由题意，直线向下平移m个单位长度后的解析式为，
如图，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点，
将代入中，得；
将代入中，得，
综上，满足条件的m值为或．
9．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可；
（2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可；
（3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴轴，
∴，
解得，或，
∴或；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴平移后的解析式为，
将代入得，，整理得，．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键．
10．(1)；
(2)或
(3)2
【分析】（1）根据题意得，，，再由三角形面积即可求解；
（2）设与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得、，再由待定系数法求得直线的解析式为，进而求得，，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在y轴负半轴时，同①得， ，再根据三角形面积列方程求解即可；
（3）证，得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵、，
∴，，，
∴，
∴或（舍），
∴A0,3、．
（2）解：设与y轴交于点D，分两种情况：
①如图2，当点D在y轴正半轴时，
由平移的性质可知，、，
设直线的解析式为，
把A0,3、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设线段向右平移m个单位所得的直线的解析式为，与x轴的交点坐标为，
则，
解得：，
∴，
∴直线与y轴的交点为，
∵线段再向下平移m个单位后得到线段，
∴，
∴，
∴，
解得：．
②如图2-1，当点D在y轴负半轴时，
由平移的性质可知，、，
由①得：，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为或；
（3）解：由平移的性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平移的性质、一次函数的图象与性质、平行线的性质等，熟练掌握一次函数的图象与性质和平移的性质是解题的关键．