专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10265" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc10265 \h 1
\l "_Tc18830" 二、典型题型 PAGEREF _Tc18830 \h 2
\l "_Tc5647" 题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围 PAGEREF _Tc5647 \h 2
\l "_Tc8989" 题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象 PAGEREF _Tc8989 \h 8
\l "_Tc21681" 三、专项训练 PAGEREF _Tc21681 \h 13
一、必备秘籍
二、典型题型
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围
1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数.
(1)请用五点法作图作出在一个周期内的大致图象;
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合正弦函数的五点作图法，列表描点即可作图，
（2）结合（1）的图象即可求解．
【详解】（1）列表如下:
对应的图象如下:
（2）由题意可得：在上恒成立，
根据小问一可得在上的最大值为，
则，解得，
的范围是.
2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）利用“五点法”作图作函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为 ，轴上每格的长度为1）
列表：
【答案】见解析
【分析】根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
【详解】列表：
【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．
3．（23-24高一下·北京怀柔·期中）已知函数满足.
(1)求的值；
(2)用五点法画出函数在一个周期上的图象；
(3)根据（2）得到的图形，写出函数的图象的对称轴方程与对称中心的坐标.
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)对称轴为：，；对称中心为：,
【分析】（1）由特殊角三角函数直接求解；
（2）结合五点作图进行列表描点即可作图得解；
（3）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心；
【详解】（1），即，又，则；
（2）列表如下：
描点连线，图像如下：
（3）令，，解得，，可得函数对称轴为：，．
令，，解得，，可得函数对称中心为：,.
4．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）小美同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；
(2)若，求不等式成立的的取值集合．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表格数据得到，及、的方程组，解得即可得到函数解析式，再完善表格即可；
（2）首先得到解析式，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）根据表中已知数据可得，，解得，
所以；
表格数据补全如下：
（2）由题意，
不等式，即，即，
所以，
解得，
所以不等式成立的的取值集合为.
5．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
【答案】(1)补充表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格；
（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
所以函数的解析式为，
令时，解得，当时，，
将表中处的数据补充完整如下表：
（2）若，
则
，
因为，所以，
进而，
所以函数的值域为.
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象
1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图.
【详解】列表：
描点，连线，画出在上的大致图象如图：

2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数周期为，其中．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；
（2）利用五点法画图可得答案.
【详解】（1）由题意可得，所以；
令，，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）
描点，连线，其简图如下
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在上的图象；
(2)解不等式．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）列表
又当时，，当时，，
描点作图，如图所示：
（2）因为，
所以，，
解得，，
故不等式的解集为.
4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数.
(1)用五点法作图作出在的图象；
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；
（2）根据，求出的范围，再根据三角函数的性质求出最值.
【详解】（1）列表如下：
对应的图象如图：
（2），
又，
即，
.
5．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数，．
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图象；
(2)求函数的最小正周期；
(3)求函数的单调递增区间．
【答案】(1)图象详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用五点作图法画出图象.
（2）由求得的最小正周期.
（3）利用整体代入法求得的单调递增区间.
【详解】（1），
列表如下：
描点画图如下：
（2）函数的最小正周期.
（3）由，
解得，
所以的单调递增区间为.
三、专项训练
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；

(2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可.
（2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得的表达式，通过整体代换即可求解.
【详解】（1）

（2）的图象向下平移1个单位得的图象，
横坐标扩大为原来的4倍得，，
再向左平移个单位后，得，
令，得，
所以函数的对称中心为
2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）利用五点作图法完善表格即可，根据表中数据求出即可求出函数解析式；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】（1）由表可知，
所以，所以，
又，所以，
所以，
表格如下：
（2），即，
所以，解得，，
又因，所以，
即不等式的解集为．
3．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）用五点法作出函数在一个周期内的图象
【答案】答案见解析
【分析】根据五点法确定各点坐标，进而可得函数图象.
【详解】列表如下
描点连线，可得函数图象如下：

4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
(1)根据上表中数据，求出及的值；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)，，，，
(2)
【分析】（1）根据表格数据可得最小正周期，由此可得；由可求得；根据“五点法”基本原理，采用整体对应方式即可求得；
（2）令，解不等式即可求得单调递减区间.
【详解】（1）由表格数据知：的最小正周期，，
，，解得：，
又，；
令，解得：；
令，解得：；
令，解得：.
（2）由（1）知：，
令，解得：，
的单调递减区间为.
5．（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出的图象.
【详解】列表：
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）.
【详解】由题意列出以下表格：
函数图象如图所示：

7．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数．

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)，．
【分析】
（1）分别令，，，，，列表描点连线可得函数图像；
（2）将表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】（1）
分别令，，，，，可得：
画出在一个周期的图像如图所示：

（2）
，
若求单调递增区间，需满足，，
，，
则的单调递增区间为，．
8．（22-23高一下·江西赣州·期末）已如函数．
(1)用“五点法”作出函数在区间上的图像；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；
（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，列表如下：
所以数在区间上的图象如下：
.
（2）因为，
所以将函数的图像向右平移个单位长度，可得到的图像，
再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图像，
因为，所以，则
故的取值范围是.
9．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；
(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；
(3)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)表格见解析，；
(2)作图见解析；
(3).
【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期,再求；再由求得,进而得到解析式,由解析式补全表格即可；
（2）由表格数据描点连线作图即可；
（3）令,则,利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题表知，，所以，
，，
，
则数据补全如下表：
；
（2）由（1），在一个周期内的图象如图所示，
；
（3）令,则,
所以在上的值域可转化为在上的值域,
因为正弦函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故的最小值为,最大值为,
当时,；当时,,
故当时,；当时,，
所以函数在区间上的值域为.
10．（22-23高一上·广东广州·期末）设函数（），将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于y轴对称.
(1)求的值；
(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像；
(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）先对 作恒等变换，再求出 解析式，根据条件求出 ；
（2）用整体代入法取5点作图；
（3）将原方程转化为一元二次方程求解.
【详解】（1）

，
，是偶函数，并且 ；
（2）由（1）的结论得 ，
取5点得下表：
作下图：
（3）由（1）得 ，原方程为： ，
， …①，
令 ， ，则t关于x的函数图像如下图：
由图可知：当 时，任意一个t对于2个x，当 时 ，任意一个t对应1个x，并且 ；
变为： ，即 ，
即不论m为何值， 总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2个解，必须是 ，
；
综上， ， .
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
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