专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3566" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3566 \h 1
\l "_Tc18836" 二、典型题型 PAGEREF _Tc18836 \h 3
\l "_Tc5795" 题型一：在型求切线方程 PAGEREF _Tc5795 \h 3
\l "_Tc8161" 题型二：过型求切线方程 PAGEREF _Tc8161 \h 3
\l "_Tc8596" 题型三：已知切线斜率求参数 PAGEREF _Tc8596 \h 3
\l "_Tc14373" 题型四：确定过一点可以做切线条数 PAGEREF _Tc14373 \h 4
\l "_Tc1441" 题型五：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc1441 \h 4
\l "_Tc32020" 题型六：距离问题转化为相切问题 PAGEREF _Tc32020 \h 5
\l "_Tc31930" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc31930 \h 5
\l "_Tc31420" 三、专项训练 PAGEREF _Tc31420 \h 6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
4、已知和存在（）条公切线问题
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线在处的切线的斜率为 .
3．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为 ．
4．（2024·上海闵行·二模）函数在处的切线方程为 .
题型二：过型求切线方程
1．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 .
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为 .
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ）
A．2或B．C．D．或
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数 ．（…为自然对数的底数．）
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3（多选）（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
题型五：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过点可作曲线的三条不同的切线，实数的取值范围为 .
4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线有且仅有两条过点的切线，则实数a的值为 .
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为 ．
题型七：公切线问题
1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
4．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
三、专项训练
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．3B．C．7D．
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线，在点处的切线斜率为（ ）
A．0B．C．1D．
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·浙江·期中）函数在点处的切线方程（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A．-3B．-1C．5D．6
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．y＝x＋3B．y＝4x－3C．y＝2x＋1D．y＝x－3
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·湖北·模拟预测）写出函数的一条斜率为正的切线方程： ．
12．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数，若第一象限内的点在曲线上，则到直线的距离的最小值为 .
13．（23-24高二下·河南三门峡·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
14．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 .
第一步
设的切点
设的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；