人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步训练题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．
3．动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
4．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）
A．50mB．C．55mD．
6．已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
10．已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点F的坐标为
C．直线AQ与抛物线相切D．
11．抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
三、填空题
12．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 .
13．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ．
14．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为
四、解答题
15．已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
(1)求抛物线方程；
(2)求弦的长度.
16．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点.
(1)若，求m的值；
(2)求线段AB中点M的轨迹方程.
17．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.
18．在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线．①点到的距离比到轴的距离大；②过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．
(1)选择条件：________，求曲线的方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，若।，求实数的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率分别为.
(1)求证：为定值；
(2)直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标．
参考答案
1．【详解】设抛物线方程为或，
依题意知，∴.
∴抛物线方程为.故选：C.
2．【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6，
所以点M到y轴的距离为.故选：C．
3．【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，
等式的右边表示点到直线的距离，
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.
4．【详解】
如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点；
当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点.
由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条.故选:D.
5．【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知，
设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离，
则,解得．
故选：A
6．【详解】设点的坐标为，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，取最小值.
所以，点到直线的距离的最小值是.故选：D.
7．【详解】由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，整理得，
则，所以，
四边形是平行四边形，
，即，
，，
解得， ，
，.故选：B.
8．【详解】依题意，抛物线，即，则，设，
直线，联立得，则.
而直线，即，
令，则，即，令，则，故，
则，故.
故选：C
9．【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，
所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC
10．【详解】将代入中可得，故，F1,0,A正确，B错误，
,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，
由于轴，所以不成立，故D错误，
故选：AC
11．【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可知:,
解得 .
抛物线的方程为:,故正确;
对于，抛物线的准线方程为，故错误；
对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,
易知抛物线的焦点，设，则,,
所以,
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在，
假设,设,AB的中点为,则 ，
如图所示，作垂直于准线于点，则,
联立，消去并整理可得，
所以，
所以所以,
,
,
,
以 AB 为直经的圆与准线相切，故D正确.
故选：ACD.
【知识归纳】结论点睛：如图所示，
已知抛物线,过其焦点
且与抛物线交于
两点的直线，
则有如下常用结论：
（1）
（2）若直线AB的倾斜角为，则;
（3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
（4）;
12．【详解】因为点在抛物线上，
代入抛物线中得，解得，所以
故抛物线的准线方程为，
所以到的准线的距离为.故答案为：
13．【详解】设点的横坐标分别为，由的中点到轴的距离是2，得，即，
由抛物线的弦过其焦点，得，解得，
所以此抛物线方程是.
故答案为：
14．【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，，
设，
则直线的斜率为，联立方程得，
消去得，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则．
所以
同理，用替换可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8．
故答案为：8.
15．【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点，
所以，则抛物线方程为.
（2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线，
代入抛物线消去y，得，则，显然，
所以，，则.
16．【详解】（1）联立方程，消去y得，
由得，设，，则，
由抛物线定义知：，解得，符合题意，
所以.
（2）设点，则由题意得，因为，所以，
把即代入得，
所以点M的轨迹方程为.
17．【详解】（1）在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
，因为，
则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数，即
为定值.
故当时，有恒成立.
18．【详解】（1）选①：设Px,y，由题意，
即，
整理可得，即或，
所以曲线的方程为或．
选②：过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，
设动圆的圆心为，半径为，则点到轴的距离为，
在梯形中，由中位线性质可得，
所以，
又，所以，
由抛物线的定义知，点是以为焦点的抛物线，
所以曲线的方程为．
（2）设，将代入，
消去整理得．
则，
故
，
化简得，解得（负值舍去），故．
19．【详解】（1）证明：设且,，F1,0,
直线，联立的方程可得①，
由斜率公式可得，，
可设直线，代入抛物线方程可得，
②，联立①②得，同理可得，
所以⇒.
（2）设，
若三点共线，
由,
所以，化简得，
由三点共线，得
由三点共线，得，
结合（1）题设知.
设直线，
由，得，
所以直线过定点.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D
A
D
B
C
AC
AC
题号
11









答案
ACD