南京市南师附中江宁分校2024年九上数学开学联考试题【含答案】

这是一份南京市南师附中江宁分校2024年九上数学开学联考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，正方形的边长为2，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为.连接CF，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）
A．2B．3C．D．
3、（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
4、（4分）已知一组数据，，，，的平均数为5，则另一组数据，，，，的平均数为（ ）
A．4B．5C．6D．10
5、（4分）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为（ ）
A．25B．16C．20D．10
6、（4分）为了解某班学生双休日户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）在□ABCD中，对角线 AC与 BD 相交于点O ， AC10， BD 6，则下列线段不可能是□ABCD 的边长的是( )
A．5B．6C．7D．8
8、（4分）如图：由火柴棒拼出的一列图形，第个图形是由个等边三角形拼成的，通过观察，分析发现：第8个图形中平行四边形的个数（ ）．

A．16B．18C．20D．22
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某市对400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.68～1.70这一小组的频率为0.25，则该组的人数为_____．
10、（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是的边AB，BC边的中点若，
，则线段EF的长为______．
11、（4分）将二次函数化成的形式，则__________．
12、（4分）不等式4x﹣6≥7x﹣15的正整数解的个数是______．
13、（4分）若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
(1) （2）
15、（8分）如图，∠AOB＝30°，OP＝6，OD＝2，PC＝PD，求OC的长．
16、（8分）某校分别于2015年、2016年春季随机调查相同数量的学生，对学生做家务的情况进行调查（开展情况分为“基本不做”、“有时做”、“常常做”、“每天做”四种），绘制成部分统计图如下．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）a=______%，b=______%，“每天做”对应阴影的圆心角为______°；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2016年共有1200名学生，请你估计其中“每天做”家务的学生有多少名？
17、（10分）已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点B（－1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．
18、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在▱ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．则▱ABCD的周长为_____，面积为_____．
20、（4分）数据101，98，102，100，99的方差是______．
21、（4分）计算的结果是_______________．
22、（4分）我国很多城市水资源短缺，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准．某市居民月交水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．
23、（4分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b>0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=1；④不等式kx+b>0的解集是x>1．其中说法正确的有_________（把你认为说法正确的序号都填上）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个面积为50m2矩形场地，求矩形的宽BC．
25、（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
26、（12分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与一次函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为4时．
①求k的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当﹣4＜x＜2（x≠0）时，y的取值范围；
（2）点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为10，求k的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，由勾股定理可求BE的长，由三角形面积公式可求AO的长，由折叠的性质可得AO=OH= ，AB=BF=2，由勾股定理可求BN，FN的长，由矩形的性质可求FM，MC的长，由勾股定理可求CF的长．
【详解】
解：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB,
∵AB∥CD，MN⊥AB,
∴MN⊥CD，
∵AB=2=AD，点E是AD中点,
∴AE=1，
∴EB=,
∵S△ABE=×AB×AE=×BE×AO,
∴2×1=AO,
∴AO=,
∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F,
∴AO=OH=，AB=BF=2，
∴AF=,
∵AF2-AN2=FN2，BF2-BN2=FN2，
∴AF2-AN2=BF2-BN2，
∴-（2-BN）2=4-BN2，
∴BN=,
∴FN=,
∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB=90°,
∴四边形MNBC是矩形,
∴BN=MC=，BC=MN=2,
∴MF=,
∴CF=.
故选：D．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，利用勾股定理列出等式求线段的长是本题的关键．
2、A
【解析】
如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF，证△GCF≌△ECF，得到GF=EF，再利用勾股定理计算即可.
【详解】
解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF与△ECF中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE=，CB=6
∴BE===3
∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF==
∴
∴x=4，即AF=4
∴GF=5
∴DF=2
∴CF===
故选A．
本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
3、D
【解析】
利用直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题；
B、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，
故选：D．
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定．
4、C
【解析】
根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
【详解】
依题意得：++++
所以平均数为6.
故选C.
考查算术平均数，掌握平均数的计算方法是解题的关键.
:
5、C
【解析】
根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．
【详解】
解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：此三角形的斜边长为5×2=10；
所以此三角形的面积为：×10×4=1．
故选：C．
本题考查直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法．掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6、A
【解析】
分析：根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．
详解：∵共10人，
∴中位数为第5和第6人的平均数，
∴中位数=（3+3）÷3=5；
平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3.
故选：A．
点睛：本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
7、D
【解析】
根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA-OB＜AB＜OA+OB，代入求出即可．
【详解】
如图：
，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10，BD=6，
∴OA=OC=5，OD=OB=3，
在△OAB中，OA−OB∴5−3即2同理可得AD、CD、BC的取值范围和AB相同.
故选D.
本题主要考查三角形的三边关系和平行四边形的性质.牢记三角形的三边关系和平行四边形的性质是解题的关键.
8、C
【解析】
根据图形易得：n=1时有1=12个平行四边形；n=2时有2=1×2个平行四边形；n=3时有4=22个平行四边形；n=4时有6=2×3个平行四边形;由此可知应分n的奇偶，得出答案.
【详解】
解：∵n=1时有1=12个平行四边形；
n=2时有2=1×2个平行四边形；
n=3时有4=22个平行四边形；
n=4时有6=2×3个平行四边形；
…
∴当为第2k-1（k为正整数）个图形时，有k2个平行四边形，
当第2k（k为正整数）个图形时，有k（k+1）个平行四边形，
第8个图形中平行四边形的个数为即当k=4时代入得4×5=20个，
故选C.
本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
分析：根据频率= 或频数=频率×数据总和解答．
详解：由题意，该组的人数为：400×0.25=1（人）．
故答案为1．
点睛：本题考查了频数与频率之间的计算，熟知频数、频率及样本总数之间的关系是解决本题的关键．
10、3
【解析】
由菱形性质得AC⊥BD,BO= ,AO=,由勾股定理得AO= ,由中位线性质得EF=.
【详解】
因为，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
所以，AC⊥BD,BO= ,AO=,
所以，AO= ,
所以，AC=2AO=6,
又因为E，F分别是的边AB，BC边的中点
所以，EF=.
故答案为3
本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.
11、
【解析】
利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：，
，
．
故答案为：．
本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
12、3
【解析】
首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可
【详解】
不等式的解集是x≤3,
故不等式4x-6≥7x-15的正整数解为1,2,3
故答案为:3
此题考查一元一次不等式的整数解，掌握运算法则是解题关键
13、且
【解析】
分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），解得：，
∵分式方程的解为非负数，∴，解得：
又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入得
∴要使分式方程有意义，必须
∴a的取值范围是且
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1); (2).
【解析】
（1）先进行二次根式的乘法运算，然后再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可得解；
（2）利用完全平方公式进行计算即可得解.
【详解】
(1)
=
=
=；
（2）
=40-60+45
=.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
15、OC＝4．
【解析】
首先过点P作PE⊥OB于点E，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出OE的长，再利用等腰三角形的性质求出EC的长．
【详解】
解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵∠AOB＝30°，PE⊥OB，OP＝6，
∴OE＝OP＝3，
∵OD＝2，PC＝PD，
∴CE＝DE＝，
∴OC＝4．
此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出OD的长以及等腰三角形的性质，得出OD的长是解题关键．
16、（1）19，20，144；（2）见解析；（3）480
【解析】
（1）根据统计图可以求得而2016年抽调的学生数，从而可以求得a、b的值以及“每天做”对应的圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得“有时做”、“常常做”的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图可以估计“每天做”家务的学生的人数．
【详解】
解：（1）由题意可得，
2016年抽调的学生数为：80÷40%=200，
则a=38÷200×100%=19%，
∴b=1-19%-21%-40%=20%，
“每天做”对应的圆心角为：360°×40%=144°，
故答案为：19，20，144；
（2）“有时做”的人数为：20%×200=40，
“常常做”的人数为：200×21%=42，
补全的条形统计图如下图所示，
（3）由题意可得，
“每天做”家务的学生有：1200×40%=480（人），
即该校每天做家务的学生有480人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
17、（1）这个函数的解析式为：；（1）点C在函数图象上，理由见解析；（3），－2＜y＜－1．
【解析】
（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值；
（1）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于2时，即该点在函数图象上；
（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
【详解】
解：（1）∵反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（1，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得，解得，k=2．
∴这个函数的解析式为：．
（1）∵反比例函数解析式，
∴2=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（－1）×2=－2≠2，则点B不在该函数图象上；
3×1=2，则点C在函数图象上．
（3）∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小．
∵当x=－3时，y=－1，当x=－1时，y=－2，
∴当－3＜x＜－1时，－2＜y＜－1．
18、 (1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形
【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、39cm 60cm1
【解析】
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm，根据等腰三角形的性质得到AB=CD=AD=CD=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．
【详解】
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠BCD，
在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1=∠1，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，
∴平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm；
作EF⊥BC于F，
根据直角三角形的面积公式得：EF=cm，
∴平行四边形ABCD的面积=BC·EF==60cm1，
故答案为39cm，60cm1．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
20、1
【解析】
先求平均数，再根据方差公式求方差.
【详解】
平均数 .x=（98+99+100+101+101）=100，
方差s1= [（98-100）1+（99-100）1+（100-100）1+（101-100）1+（101-100）1]=1．
故答案为1
本题考核知识点：方差. 解题关键点：熟记方差公式.
21、
【解析】
应用二次根式的乘除法法则（）及同类二次根式的概念化简即可.
【详解】
解：
故答案为：
本题考查了二次根式的化简，综合运用二次根式的相关概念是解题的关键.
22、38.8
【解析】
根据图形可以写出两段解析式，即可求得自来水公司的收费数．
【详解】
将(10,18)代入y=ax得：10a=18，
解得：a=1.8，
故y=1.8x(x⩽10)
将(10,18),(15,31)代入y=kx+b得：
，
解得：，
故解析式为：y=2.6x−8(x>10)
把x=18代入y=2.6x−8=38.8.
故答案为38.8.
本题考查用一次函数解决实际问题，关键是应用一次函数的性质.
23、①②③
【解析】
①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确；
②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确；
③因为一次函数的图象与x轴的交点为（1，0），所以当y=0时，x=1，即关于x的方程kx+b=0的解为x=1，故本项正确；
④由图象可得不等式kx+b>0的解集是x＜1，故本项是错误的.故正确的有①②③.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、5m
【解析】
设矩形的宽BC=xm.根据面积列出方程求解可得.
【详解】
解：设矩形的宽BC=xm.则AB=(20-2x)m，
根据题意得： x(20-2x)=50，
解得：，
答：矩形的宽为5m.
此题考查了一元二次方程的应用,列方程时要找到题目中的等量关系，所求得的解要符合实际情况.
25、证明见解析
【解析】
解：∵ MA＝MD，∴ △MAD是等腰三角形，
∴ ∠DAM＝∠ADM．
∵ AD∥BC，
∴ ∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM．
∴ ∠AMB＝∠DMC．
又∵ 点M是BC的中点，∴ BM＝CM．
在△AMB和△DMC中，

∴ △AMB≌△DMC．
∴ AB＝DC，四边形ABCD是等腰梯形．
26、（1）①k＝12；②y的取值范围是y＜﹣3或y＞6；（2）k＝6.
【解析】
（1）①先求得点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝（k＞0）即可求得k值；②求得当x＝﹣4和 x＝2时y的值，结合图像，再利用反比例函数的性质即可求得y的取值范围；（2）设点A为（a，），根据勾股定理求得OA＝，根据函数的对称性及直角三角形斜边的性质可得OA＝OB＝OC＝，根据三角形的面积公式求得a＝，即可得点A为（2，），代入即可求得k值.
【详解】
（1）①将x＝4代入y＝x得，y＝3，
∴点A（4，3），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与一次函数y＝x的图象交于A点，
∴3＝，∴k＝12；
②∵x＝﹣4时，y＝＝﹣3，x＝2时，y＝6，
∴由反比例函数的性质可知，当﹣4＜x＜2（x≠0）时，
y的取值范围是y＜﹣3或y＞6；
（2）设点A为（a，），
则OA＝＝，
∵点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为10，
∴OA＝OB＝OC＝，
∴S△ACB＝ ==＝10，
解得，a＝，
∴点A为（2，），
∴＝，
解得，k＝6.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分