天津市第一中学2024-2025学年高三上学期十月份第一次月考数学试卷

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A．B．C．，2，D．，2，3，
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
4．已知函数，则的大致图像为
A．B．
C．D．
5．已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象；
②的图象经过点；
③的图象的一个对称中心是；
④在上是减函数；
A. B. C. D.
6. 已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是( )
A. B.与的夹角等于
C.D.与在方向上的投影相等
7．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是
A．1B．C．D．
8．已知函数的图像在区间上恰有3个最高点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
已知函数，若存在实数使得有实根，
则的最小值为 （ ）
B. C. D.
10．复数 ．
11．在的展开式中，的系数为________．
12．已知，则的值为________．
13.若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为________．
14.已知平行四边形中，，，，则________；若，，则的最大值为________．
15.已知函数，若存在，使得在上恰有两个零点，则实数的最小值为________．
答案
选择题
二．填空题
10. 2+i 11. 60
12. -1 13.
14. / 15.
三．解答题
16．已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若的面积为，，求的周长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）8
【详解】解：（Ⅰ），
由正弦定理得，
从而有，
，
，
，
；
（Ⅱ）由已知得，，
，，
，
（Ⅲ），
，
由余弦定理得，，
即，解得，
的周长为．
17.已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
【解析】(Ⅰ)因为
. 由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即. 又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得, 即,即.
故, 由,有, 所以,
得, 故函数在上的取值范围为.
18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
19.已知等差数列中，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，，，，，依此类推，第项由相应的中项的和组成.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，由知，
且，，，
；
（2）（i）由题意得：，
即
是首项为，公差为的等差数列的项的和，
，
；
（ii）由（i）知：，.
已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：对任意的，有；
(3)若，证明：．
【分析】（1）先求出导函数，再令根据导函数的单调性得出极值.
（2）先构造函数，再求导得出函数单调性，得出函数最小值，得出，同乘即可得出证明不等式；
（3）先构造函数，应用单调性可得，再分，三种情况分别证明即可.
【详解】（1）因为，
令，
又因为单调递减；单调递增；
所以的极小值为，无极大值.
（2）令，
可得，令，
单调递增，，
单调递减；
单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，所以
（3）对任意的，令，
所以
令
单调递增，，
单调递减，
所以设，则即
可得，
当单调递增，所以，可得
所以，
当单调递减，所以，可得
所以，
当
因为单调递增，所以，可得可得，
因为单调递减，所以，可得可得，
所以，1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
A
C
A
B
B
D
C
D