沪教版（2020）选择性必修第二册7.2 随机变量的分布与特征优秀一课一练

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一、单选题
1．（2022春·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式求解即可
【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，
则，
所以.
故选：C
2．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）已知随机变量的分布为，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】先由概率和为1求得，再根据期望公式求解即可.
【详解】由题，，所以，
所以，
故选：C
3．（2022春·上海虹口·高二校考期末）已知随机变量X、Y满足，X的分布为，则等于（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分布的概率和为0求得，结合数学期望的公式可得，再根据与的关系求解即可
【详解】由题意，，解得.故，故
故选：A
4．（2023·上海·高三专题练习）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论：
① 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
② 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③ 的取值范围都是；
④
其中，正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案
【详解】解：对于①：人中确诊的有人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；
对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为，故②错误；
对于③：第一种有96人，有2人
第二种有82人，有2人
故设抽取80岁以上的人数为，则
当时，
当时，
当时，
故③正确；
对于④：，，
，，
故④正确；
故选：B
二、填空题
5．（2023·上海·高三专题练习）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为___________（精确到小数点后一位）.
【答案】1.2
【分析】根据分布列计算期望即可得到结论.
【详解】由服从分布得
，
即该路口一个月内发生重大交通事故的平均数约为1.2.
故答案为：1.2.
6．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.
【答案】0
【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.
【详解】根据概率的性质可得解得，
所以，
所以.
故答案为:0.
7．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）已知一个随机变量的分布为，且，则______.
【答案】0.4##
【分析】根据和分布列的性质求得的值,再利用方差的公式即可求解.
【详解】由题意得 ,解得,
故答案为:0.4
8．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）已知随机变量的分布为如表所示，则_____．
【答案】
【分析】根据概率和为1计算得到，再根据公式计算数学期望即可.
【详解】，
故.
故答案为：
9．（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知离散型随机变量的分布为，则______．
【答案】0
【分析】根据概率的性质得到，再根据期望的定义求期望即可.
【详解】由题意得，解得，所以.
故答案为：0.
10．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据题意，计算与，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题，，，则，
故答案为：
11．（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．
【答案】
【分析】由题意知的可能取值，计算对应的概率值，即可写出分布列，求出数学期望值．
【详解】的取值为 0，1，2，3，
，，，，
随机变量的概率分布为：
数学期望为．
故答案为：
12．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，且（），则___________.
【答案】
【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，
又，
即，解得，
所以.
故答案为：
13．（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则___________.
【答案】##
【分析】利用条件概率公式计算可得；
【详解】解：依题意，，
所以；
故答案为：
14．（2016·上海长宁·上海市延安中学校考三模）随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.
【答案】
【详解】设时的概率为，则，解得，故
考点：方差.
三、解答题
15．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由.
【答案】(1)
；
(2)，理由见解析
【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；
（2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论.
【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，
10，11的概率分别为，
从而，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
（2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，
当时，
当时，
因为，
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，
故应选．
16．（2023·上海·高三专题练习）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；
(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
【答案】(1)
(2)游客甲选择向B桶投球更有利；理由见解析
【分析】（1）根据概率公式求得概率，利用导数求得极大值点即可；
（2）分别求出游客投进A，B，C三桶的纯收入的期望，比较其大小即可得到结论.
【详解】（1）3次向A桶投球投进2次的概率．
则．令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的极大值点．
（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元．；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利．
17．（2023·上海·高三专题练习）四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：
(1)以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；
(2)以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．
【答案】(1)96；
(2)可能取值为360，430，500，.
【分析】（1）利用求平均数的公式即得；
（2）分别求得日需求量碗，碗和100碗以上时的日利润和对应概率，即得.
【详解】（1）该米粉店日需求量的平均数为：；
（2）当日需求量为80碗时，该店每天获利
当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；
当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．
所以，Y的可能取值为360，430，500
所以，Y低于450元的概率为．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率之和为找到之间的关系，用表示出，结合不等关系求出的范围.
【详解】根据分布列的性质可知： ，结合题干条件可解得：，而，于是.
故选：B
2．（2022春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误D．两个命题都正确
【答案】A
【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2.
【详解】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；
，则，
而，，
，
所以，故，命题2错误；
故选：A
二、填空题
3．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______．
【答案】
【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率公式计算得到答案.
【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，
则，.
.
故答案为：
三、解答题
4．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
(1)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
①如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
②已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布和期望．
(2)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，求的分布和期望，并比较与（1）中的大小．
【答案】(1)①20次；②分布列见解析，
(2)分布列见解析，，
【分析】（1）①分析得到先检验10次，再由两名患者在同一组，检验10次，共20次；
②求出的可能取值及对应的概率，得到分布列；
（2）得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望，方法一：与直接比较出大小即可；
方法二：先设“10合1”和“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率分别为，，则，得到和，从而比较出大小关系.
此时有；
而，
所以．
【详解】（1）①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次．
②由题意得的可能取值为20，30．
当时，两名患者在同一组，故，
当时，两名患者不在同一组，故，
从而得到分布列如下：
期望．
（2）由题意得：采用“5合1”混采核酸检测，先检测20次，若两名感染患者在同一组，此时，若两名感染患者不在同一组，则．
，．
得分布列为
故期望，
法一：因为，所以．
法二：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，
“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，
此时有；
而，
所以．
5．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
(1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数；
(2)若携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，试问k取多少时化验次数最少？
【答案】(1)平均需要化验次，能减少化验次数.
(2)k取8时化验次数最少
【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.
（2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.
【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X，
若混合血样呈阳性，则；若混合血样呈阴性，则；
因此，X的分布列为，，
，
说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；
，所以能减少化验次数.
（2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y，
若混合血样呈阳性，则；若混合血样呈阴性，则；
因此，Y的分布列为，，
，
利用计算器，对k取，逐一计算，
发现当k取8时，取到最小值0.2742，
此时，10000个人大约需要化验2742次．
6．（2022春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：
①的通项公式；
②的通项公式．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；
（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.
【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，
设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.
故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.
（2）①由题可知，
根据题意，，故可得
故数列为首项，公比为的等比数列，
则.
②根据上式可得，
则，
故的通项公式.
7．（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）王同学到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试.若王同学能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰.
(1)求王同学通过面试的概率；
(2)记本次面试王同学回答问题的个数为，求的分布列及数学期望（提示：若错误回答三个问题，则面试终止）.
【答案】(1)；
(2)X的分布列为，
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解，
（2）由概率的乘法公式与加法公式求解分布列，由数学期望公式求解，
【详解】（1）王同学3个问题通过面试的概率为，
王同学4个问题通过面试的概率为，
王同学5个问题通过面试的概率为，
故王同学通过面试的概率为
（2）由题意得的取值为，
，，
，
故X的分布列为，
8．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.
(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析，，
【分析】（1）“当天小王的该邮箱被锁定”即3次尝试均错误，进而求解；
（2）由题可能取到1，2，3，分别求得概率，列出分布列，根据期望和方差的公式求解即可.
【详解】（1）设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件，
则
（2）由题意，可能取到1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
年龄（岁）
总计
确诊组人数
0
3
7
4
0
14
排除组人数
7
41
15
19
2
84
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.1
0
1
2
3
16
17
18
19
20
21
22
16
17
18
19
20
21
22
日需求量
80
90
100
110
频数
5
10
7
8
20
30
25
30

1
2
3