高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 导数的概念精品当堂检测题

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1．（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【详解】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
二、填空题
2．（2022·上海·闵行中学高二期末）函数在区间上的平均变化率等于______．
【答案】6
【分析】由平均变化率的定义计算．
【详解】所求平均变化率为．
故答案为：6．
3．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数，则______．
【答案】－1
【分析】根据导数的定义计算．
【详解】
．
故答案为：．
4．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为___________.
【答案】π4##45°
【分析】利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.
【详解】解：利用运动是相对的，
函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，
故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，
则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，
故的最大值为，
故答案为：
5．（2022·上海师范大学附属嘉定高级中学高三期中）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可以得出切线方程的斜率，进而利用点斜式方程即得．
【详解】由可得，
切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
6．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可.
【详解】若关于的方程有解，
即与的图像有交点，
因为与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
如图所示：
设函数与直线相切，切点为，
，则有，解得：，
由图像可知，当时，曲线与直线有交点，
即与的图像有交点，
即方程有解.
故答案为：
7．（2023·上海·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】利用导函数求得即为切线斜率，由原函数求得，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】因为，所以，又，
故所求切线方程为，即.
故答案为：.
8．（2022·上海市金山中学高三期中）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.
【详解】解：由可得，
曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为即，
故答案为：
9．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知为可导函数，且，则_______．
【答案】
【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.
【详解】解：因为.
故答案为：.
10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.
【详解】解：令，则，，．
因为与关于直线对称，
所以函数与函数关于直线对称，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，
函数在点处的切线斜率为，
令得，，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为．
故答案为：.
三、解答题
11．（2022·上海市实验学校高二期末）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．