高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 导数的概念优秀第2课时同步达标检测题

这是一份高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 导数的概念优秀第2课时同步达标检测题，共18页。PPT课件主要包含了新课导入，新课讲解，课本练习等内容，欢迎下载使用。

导数的几何意义上一小节谈到，研究物体变速运动时，我们把时间分成若干个小时间段，计算每个小时间段中物体的平均速度，借以近似地描述物体的运动状况．当时间段的划分越来越细时，对运动的描述就越来越精确．特别地，在一个时间点周边的时间段越来越小时，如果平均速度趋近于一个稳定值，这个稳定值就是物体运动在这个时间点的瞬时速度． 在几何学中有类似的情境：为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段，把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这个小片段的近似，当曲线的划分越来越细时，用这些小线段连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线．
我们把连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条割线．如图５-１-２，给定曲线上的一点P，考虑以点P为端点的一条小曲线段 和割线PQ．像平均速度趋近于瞬时速度那样，当曲线段 取得越来越短，即让点Q越来越靠近点P时，如果割线PQ趋近于一条确定的直线，我们就将这条直线称为曲线在点P处的切线．就像瞬时速度是运动在给定时刻的最好描述一样，可以想象，切线是曲线在点P附近性质的最好描述．
切线这个术语并不陌生，我们在平面几何的学习中定义过圆的切线，并讨论过它的性质．那里定义的圆的切线是否与这个新定义一致呢？例３ 如图５-１-３，曲线 是圆 在x轴及其上方的部分，点P（１，１）和Q（０， ）是该曲线上的点．（１）求割线PQ的斜率；（２）对正整数n，令 在该曲线上取一系列点 借助现代信息技术，适当地计算一些割线 的斜率，观察并总结当n逐渐增大时，割线 的斜率的变化趋势．
解 （１）割线PQ的斜率是 （２）割线 的斜率是借助计算器或计算机可以得到表５-２中关于 的近似计算结果（精确到０．００００００００１）：观察表５ ２可知，当n逐渐增大时，割线 的斜率逐渐减小，并趋近于－１．
由例３可以看出，根据现在的定义，曲线在点P（１，１）处的切线的斜率是－１，容易求得它的一般式方程是x＋y－２＝０．又因为平面几何所定义的切线垂直于过切点的半径，即向量（１，１）是切线的法向量，所以用点法式求出切线的方程也是x＋y－２＝０．即对于圆来说，两个切线的定义一致. 对于任意曲线y＝f（x），如何从定义出发求它在点 P 处的切线？例３给我们的第一个启示是先求切线的斜率．其实，例３还可以进一步揭示斜率的求法：如果记 则
其中 当n增大时， 的稳定值就是这个方法适用于一般情况．如图５-１-４，在曲线上点P 的附近取 一 点 割 线 PQ 的 斜 率 就是函数y＝f（x）在以X０和X０＋h为端点的区间上的平均变化率。如果当点Q 沿曲线趋近于点P 时，割线PQ的斜率趋近于某一稳定值，那么这个稳定值就是也就是函数y＝f（x）在X=X０处的瞬时变化率 因此，函数y＝f（x）在X=X０处的导数 ）就是曲线y＝f（x）在点P处切线的斜率．因此，函数y＝f（x）在点P 处的切线方程为
例4 已知 求曲线 在点P（１，１）处的切线方程． 先求曲线y＝f（x）在点P（１，１）处切线的斜率f′（１）：当h≠０时，从而当h趋近于０时，因此，曲线y＝f（x）在点P（１，１）处切线的斜率为２．于是，所求切线方程为即
例５ 已知 求曲线y＝f（x）在点P（０，０）处的切线方程．解 先求曲线y＝f（x）在点P（０，０）处切线的斜率f′（０）：当h≠０时，从而当h趋近于０时，因此，曲线 在点P（０，０）处的切线斜率为零，此时曲线的切线是一条水平直线． 通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点，曲线在其驻点处的切线是水平直线．
练习５．１（2）１．已知 分别求曲线y＝f（x）在点P（－１，３）和点Q（１，３）处的切线方程．２．借助函数图像，判断下列导数的正负（可利用信息技术工具）：
习题５．１A组１．自由落体运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）满足函数关系 （g为常数）．（１）分别求［３，３．１］、［３，３．０１］、［３，３．００１］时间段内的平均速度；（２）求t＝３秒时的瞬时速度；（３）求t＝a（a＞０）秒时的瞬时速度；（４）借助（３）的结果，求t＝ 秒时的瞬时速度．２．竖直向上发射的火箭熄火时向上速度达到１００米／秒，此后位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）近似满足函数关系（１）分别求［０，２］、［２，４］时间段内火箭的平均速度；（２）求t＝２秒时火箭的瞬时速度；（３）熄火后多长时间火箭向上速度为０？
３．某水管的流水量y（单位：立方米）与时间x（单位：秒）满足函数关系y＝f（x）＝３x． （１）求f（x）在x＝a处的导数f′（a）；（２）f′（a）的实际意义是什么？（３）随着a的取值变化，f′（a）是否发生了变化？为什么？４．石子投入水中，水面产生的圆形波纹区域不断扩散．计算： （１）当半径r从a增加到a＋h（h＞０）时，圆面积相对于半径的平均变化率；（２）当半径r＝a时，圆面积相对于半径的瞬时变化率．５．函数y＝f（x）的图像如图所示． （１）求割线PQ的斜率；（２）当点Q沿曲线向点P 运动时，割线PQ的斜率会变大还是变小？
６．已知 求曲线y＝f（x）在下列各点处的切线斜率，并说说这些斜率的值是如何变化的．７．借助函数图像，判断下列导数的正负
１．已知车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要１秒． （１）求车轮转动前２秒的平均角速度；（２）求转动开始后第３秒的瞬时角速度． ２．根据导数的几何意义，求函数 在下列各点处的导数： （１）x＝－１； （２）x＝０； （３）x＝１． ３．已知函数y＝f（x）在x＝１处的切线方程为y＝４x－３，求f（１）和f′（１）． ４．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝３处的切线，求f′（３）