初中24.1.1 圆课后复习题

这是一份初中24.1.1 圆课后复习题，共47页。

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（2，3）
C．点（5，1） D．点（6，1）
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（ ）
A．4B．2C．2D．1
4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．25cmB．45 cmC．25cm或45cm D．23cm或43cm
5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）
A．3B．23C．1D．2
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2的值是（ ）
A．5π2B．3πC．5πD．11π2
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB=4，则BC的长是（ ）
A．23B．32C．532D．652
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为________cm．
13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（6分）（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．
17．（6分）（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；
(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
18．（6分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．
（1）求证：GP＝GD；
（2）求证：P是线段AQ的中点；
（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．
19．（6分）（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2，连接AB．
(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A'．
①当α=30°时d⊙O,A'=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'=0，直接写出r的范围．
20．（6分）（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD=∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与CD围成阴影部分的面积．
21．（6分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．
(1)求证：AM∥CD
(2)若OA=5，填空：
①当AM＝ 时，四边形OCBM为菱形；
②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=52−5 ，则ON＝ ．
22．（6分）（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．
(1)求证：CD＝EF；
(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝213，求OG的长．
23．（6分）（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=63，求△ABC的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．

24．（7分）（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 ；
(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分


专题24.5 圆（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【思路点拨】
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解题过程】
解：在圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）
C．点（5，1）D．点（6，1）
【思路点拨】
根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。
【解题过程】
解：∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），
∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选C．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（ ）
A．4B．2C．2D．1
【思路点拨】
连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【解题过程】
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD=OD2−OC2=r2−OC2，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=12AB=12×2=1．
即CD的最大值为1．
故答案为：D．
4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．25cmB．45 cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm
【思路点拨】
先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解题过程】
解：连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=52−42=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=AM2+CM2=42+82=45cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=AM2+CM2=42+22=25cm.
故选：C.
5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）
A．3B．23C．1D．2
【思路点拨】
过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．
【解题过程】
解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=AD2−DE2=22−12=3
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+3）2=32+x2，解得x=3
∴AB=3+3=23
故填：23．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2的值是（ ）
A．5π2B．3πC．5πD．11π2
【思路点拨】
先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到S2=14AB2，再由勾股定理解得OF2=54AB2，解得S1=54AB2⋅π，据此解题即可．
【解题过程】
解：如图所示，
∵正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上，
∴圆心O在线段EF,MN的中垂线的交点上，即在Rt△ABC斜边AB的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴OC=12AB，
∴S2=12AB⋅OC=12AB⋅12AB=14AB2
∵OF2=AO2+AF2=(12AB)2+AB2=54AB2
∴S1=πOF2=54AB2⋅π，
∴S1S2=54AB2⋅π14AB2=5π．
故选：C．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A．33πB．233πC．3πD．23π
【思路点拨】
如图，作过A、B、F作⊙O，AFB为点F的轨迹，然后计算出AFB的长度即可．
【解题过程】
解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB
∵等边ΔABC
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°
∵BD=CE
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB，OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°，BG=12AB=32
∴∠OBG=30°
设OB=x，则OG=12x
∴x2−x22=322，解得x=3或x=-3（舍）
∴AFB的长度为120∘×23π360∘=23π3．
故选B
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB=4，则BC的长是（ ）
A．23B．32C．532D．652
【思路点拨】
连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC=CD，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．
【解题过程】
解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=2，
在Rt△OBD中，OD=52−22=1，
∵将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴AC=CD，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF=52−12=2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=32，
故选B．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
【思路点拨】
连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，利用 AB2−BG2=AC2−CG2，求出BG=307，进一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=66，设⊙O的半径为r，利用S△ABC=126+7+5·r=66，求出r=263，求出BD=4，进一求出OB=2423，再证明OB垂直平分DE，利用面积法可得12HE⋅OB=12OE⋅BE，求得HE长即可求得答案．
【解题过程】
解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，如图，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AB2−BG2=AC2−CG2，即62−BG2=52−7−BG2，解得：BG=307，
∴AG=AB2−BG2=1267，
∴S△ABC=12AG·BC=66，
设内切圆的半径为r，
则S△ABC=126+7+5·r=66，解得：r=263，
∵ △ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴BD=4，
∴OB=BD2+OD2=2423，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE·OB=12OE·BE，
∴HE=OE⋅BEOB=263×424232=477，
∴DE=2EH=877，
故选：D．
10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【思路点拨】
①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在RtΔABC中，由勾股定理可得a2+b2=c2，因为RtΔABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2，然后可得b=2a，c=3a，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2，当ΔACE是直角三角形时，由②可得AC：AE：CE=1：2：3或AC：AE：CE=3：2：1，然后分两种情况讨论．
【解题过程】
解：设等边三角形的边长为a，
则a2+a2=2a2，满足奇异三角形的定义，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故①正确；
在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵c>b>a>0，
∴2c2>a2+b2，2a2若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，
∴2b2=a2+(a2+b2)，
∴b2=2a2，得b=2a．
∵c2=b2+a2=3a2，
∴c=3a，
∴a：b：c=1：2：3，
故②错误；
在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．
∵D是半圆ADB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2．
∴ΔACE是奇异三角形，
故③正确；
由③可得ΔACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2．
当ΔACE是直角三角形时，
由②可得AC：AE：CE=1：2：3或AC：AE：CE=3：2：1，
（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：2：3时，
AC：CE=1：3，即AC：CB=1：3，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°．
（Ⅱ）当AC：AE：CE=3：2：1时，
AC：CE=3：1，即AC：CB=3：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°，
故④错误；
故选：B．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【思路点拨】
先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．
【解题过程】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵AD=OA2−OD2=52−32=4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故答案为8
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为________cm．
【思路点拨】
分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【解题过程】
解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．
【思路点拨】
连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=32，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【解题过程】
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=22，DE=2CD=22，
∴AP=PD=AO=2，
∴PE=32，
∴图中阴影部分的面积=12(AC+PE)⋅AP−12AO2⋅π=12(22+32)×2−12(2)2⋅π=5−π
故答案为：5-π．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
【思路点拨】
连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解题过程】
解：连接BO并延长交AC于E，交AC于D，连接AD、CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴AB=BC，
∴OE⊥AC，点D为AC的中点，
此时点D到AC的距离最大，
∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，
在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝12BD＝2，
由勾股定理得，AB＝BD2−AD2＝23，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝12×2×23×2＝43，
故答案为：43．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．
【思路点拨】
⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF．
【解题过程】
解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示
此时∠AEO=BFO=90°
所以四边形AEFB为矩形
即BF=AE=2；
②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示
此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点
∴2OH=AE+BF即BF=2R-2
∵BM=AE=2
∴MF=2R-4
在Rt△EFM中，EM2+MF2=EF2
∵EM=AB=6，EF=2R
∴62+(2R−4)2=(2R)2
解得R=134
将R=134代入 BF=2R-2
∴BF=92；
③当圆与边CD相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交E、D两点，与边BC交M、F两点，如图3所示
此时OE=OF=OH=R
∵AE=2
∴ED=6
∵点O、H分别是EF、CD的中点
∴2OH=ED+FC即FC=2R-6
∵BM=AE=2
∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R
∵EM=AB=6，EF=2R
∴在Rt△EMF中EM2+MF2=EF2
即62+(12−2R)2=(2R)2
解得R=154
∵BF=BM+MF=2+(12−2R)=14−2R
∴BF=132．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．
【思路点拨】
（1）①分别A,C为圆心，大于12AC为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线DE即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得：DA=DC=DF, 再证明∠DBC=∠DBF, ∠DFB=∠DCB, 再证明△DCB≌△DFB, 从而可得结论．
【解题过程】
解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；
以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：
（2）结论：BC=BF．理由如下：
由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,
∴DA=DC=DF,
∴∠DAC=∠DCA,AD=FD,
∴∠DBC=∠DBF,
∵ 四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DFB=180°,
∵∠DCA+∠DCB=180°,
∴∠DFB=∠DCB,
∵DB=DB,
∴△DCB≌△DFB,
∴BC=BF.
17．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；
(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
【思路点拨】
（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；
（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．
【解题过程】
解：（1）如图：连接OD
∵DE与⊙O相切
∴∠ODE＝90°
∵AB∥DE
∴∠AOD+∠ODE＝180°
∴∠AOD＝90°
∵∠AOD＝2∠C
∠C＝45°
∵∠CFB＝∠CAB+∠C
∴∠CFB＝75°
（2）如图：连接OC
∵AB是直径，点F是CD的中点
∴AB⊥CD，CF＝DF，
∵∠COF＝2∠CAB＝60°，
∴OF＝12OC＝12，CF＝3 OF＝32 ，
∴CD＝2CF＝3 ，AF＝OA+OF＝32 ，
∵AF∥AD，F点为CD的中点，
∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，
∴DE＝2AF＝3，
∴S△CED＝12×3×3＝332
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．
（1）求证：GP＝GD；
（2）求证：P是线段AQ的中点；
（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．
【思路点拨】
（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；
（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；
（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．
【解题过程】
（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB于E，
∴∠CEB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，
∴PC=PA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，
∴∠PCQ=∠CQA，
∴PC=PQ，
∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；
（3）连接CD，
∵弧AC=弧CD，
∴CD=AC，
∵CD=2，
∴AC=2，
∵∠ACB=90°，
∴AB=22+42=25，
故⊙O的半径为5，
∵CE×AB=AC×BC，
∴25CE=2×4，
∴CE=455．
19．（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2，连接AB．
(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A'．
①当α=30°时d⊙O,A'=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'=0，直接写出r的范围．
【思路点拨】
(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．
(2)先理解当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．
(3)①先确定A'位于x轴上，再求出OA'的长即可求解；②先确定A'的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵O点到AB的距离为2，
∴d（点O，AB）＝2，
故答案为2．
（2）当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，
∵OA=OB=22+22=22，
∴2≤r≤22．
（3）①如图，作A'N⊥AB于点N，作
∴∠A'NB=90°，
由旋转知BA'=BA=2−−2=4，
∵∠ABA'=30°，
∴A'N=12BA'=2,
∴A'位于x轴上，BN=42−22=23，
∴A'M=23，
∴A'O=23−2，
∵d⊙O,A'=0，
∴⊙O经过A'点，
∴r=23−2.
②如图所示，连接OB，
∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，
∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），
此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，
由B2,2，得OB=22+22=22,
当⊙O与该半圆内切时，r=4−22，
当⊙O经过A点时，r=22，
∴4−22＜r＜22．
20．（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．

（1）求证：∠CAD=∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与CD围成阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=90°，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算S△AOC=3，再利用扇形的面积公式计算S扇形OCD=60π×22360=23π，即可求得阴影部分的面积．
【解题过程】
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠EBC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=90°，
∴∠OCE+∠E=180°，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=12AD=2，AC=23，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=3，
∴S△AOC=12×2×3=3，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴S扇形OCD=60π×22360=23π，
∴阴影部分的面积为3+23π．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．
(1)求证：AM∥CD
(2)若OA=5，填空：
①当AM＝ 时，四边形OCBM为菱形；
②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=52−5 ，则ON＝ ．
【思路点拨】
(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°，再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO，据此即可证得结论；
(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DOC+∠CDO=90°，
又∵BM∥OC，
∴∠ABM=∠DOC，
∴∠MAB=∠CDO，
∴AM∥CD；
（2）解：①若四边形OCBM为菱形，
则OM=OA=MB =5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵OA=OB，
∴AB=2OA=10，
∴AM=AB2−MB2=102−52=53
当AM=53时，四边形OCBM为菱形；
故答案为：53；
②如图所示：
∵BD=52−5，OB=5，
∴OD=OB+BD=5+52−5=52，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵OC=OB=5，
∴CD=OD2−OC2=522−52=5，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠DOC=45°，
又∵BM∥OC，
∴∠OBM=∠DOC=45°，
∵OM=OB，
∴∠OBM=∠OMB=45°，
∴∠BOM=90°，△OBM是等腰直角三角形，
在直角△ODM中，根据勾股定理可得MD=OD2+OM2=522+52=53，
根据△ODM的面积可得ON⋅DM=OM⋅OD，
ON=OM⋅ODDM=5×5253=563，
故答案为：563．
22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．
(1)求证：CD＝EF；
(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝213，求OG的长．
【思路点拨】
（1）过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，利用HL证明Rt△OFM≌Rt△ODN，可得FM=DN，进而可得结论；
（2）根据PE：PF=1：3，可以设PE=x，PF=3x，则EF=PE+PF=4x，利用含30度角的直角三角形可得OM=33x，OP=233x，然后证明Rt△OPM≌Rt△OPN，可得PM=PN，再证明△PDF是等边三角形，可得DF=PF=3x，FG=12DF=3x2，然后根据勾股定理即可求出OG的长．
【解题过程】
（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，
则∠OMF=∠OND=90°，
∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，
∴OM=ON，
在Rt△OFM和Rt△ODN中，
∵OF=ODOM=ON，
∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），
∴FM=DN，
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴EF=2FM，CD=2DN，
∴CD=EF；
（2）解：∵PE：PF=1：3，
∴设PE=x，PF=3x，
∴EF=PE+PF=4x，
∵OM⊥EF，
∴EM=FM=12EF=2x，
∴PM=EM-PE=2x-x=x，
∵PB平分∠DPF，∠DPF=60°，
∴∠FPB=DPB=12∠DPF=30°，
∴OM=33x，OP=233x，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM=PN，
由（1）知：FM=DN，
∴PM+FM=PN+DN，
∴PF=PD，
∵∠DPF=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∵PB平分∠DPF，
∴PB⊥DF，垂足为G，
∴DF=PF=3x，FG=12DF=3x2，
∴PG=PF2−FG2=(3x)2−(32x)2=33x2，
∴OG=PG-OP=33x2−233x=53x6，
∵AB=213，
∴OF=12AB=13，
在Rt△OFG中，根据勾股定理，得
OG2+FG2=OF2，
∴(53x6)2+(3x2)2=(13)2，
整理，得x2=3，
解得x=±3（负值舍去），
∴x=3，
∴OG=53x6=53×36=52．
23．（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=63，求△ABC的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】
（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【解题过程】
解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD=1，
∴AD=AB2−BD2=3，
∴△ABC的面积为12×2×3=3，
故答案为：3；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC=120°，BC=63，
∴点A在BC上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'=60°，BH=CH=33，
∴OH=3，OB=6，
∴A'H=OA'-OH=6-3=3，
∴△ABC的最大面积为12×3×63=93；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB=20米，
∴AH=OH=10米，OA=102米，
∵BC=24米，
∴OG=14米，
∵102＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF=OH=10米，OM1=102米，
∴EM1=14米，
∴OE=OM12−M1E2=2米，
∴CM1=BF=8米，
同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
24．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 ；
(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
【思路点拨】
（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；
（2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交⊙O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=125，则DN＝OD﹣ON=85，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出AD，即可求出BD．
【解题过程】
（1）解：∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，
∴∠COA＝90°，CO=12AB＝OA，
∵△AOD是等边三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC=12（180°﹣∠COD）=12×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案为：135°；
（2）解：线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD=2CD+DA，
理由如下：
过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：
则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD=2CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）解：连接OC，如图3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC＝OA=12AB=12（AE+BE）=12×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE=OC2+OE2=42+32=5，
∵CE是定值，
∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，
∵AB是⊙O的直径，
过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，
∵S△OCE=12OC•OE=12CE•ON，
∴ON=OC⋅OECE=4×35=125，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4−125=85，
此时，在Rt△CNO中，CN=OC2−ON2=42−(125)2=165，
在Rt△CND中，CD=CN2+DN2=(165)2+(85)2=855，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（ 2）知，BD=2CD+AD=2×855+AD=8105+AD，
∴82﹣AD2＝（8105+AD）2，
∴AD=6105，
∴BD=8105+AD=8105+6105=14105，
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD=14105．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


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评卷人
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