吴江中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测（10月）数学试卷(含答案)

这是一份吴江中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测（10月）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,集合,则的元素个数为( )
A.3B.4C.5D.32
2．设a,b为实数,命题甲:,命题乙:,则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．十七世纪,数学家费马提出猜想：“对任意正整数,关于x,y,z的方程没有正整数解”,经历三百多年,1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为( )
A.对任意正整数,关于x,y,z的方程都没有正整数解
B.对任意正整数,关于x,y,z的方程至少存在一组正整数解
C.存在正整数,关于x,y,z的方程至少存在一组正整数解
D.存在正整数,关于x,y,z的方程至少存在一组正整数解
4．已知实数,,下列关系正确的是( )
A.B.
C.D.
5．设,,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．已知某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则均可被租出;若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（,）,则被租出的客房会减少套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元B.260元C.270元D.280元
7．在R上定义运算,则满足的实数x的取值范围为( )
A.B.
C.或D.
8．已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若集合,则( )
A.B.C.D.
10．设正实数x,y满足,则下列结论正确的是( )
A.B.的最大值为
C.的最小值为D.的最小值为
11．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.，满足戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
三、填空题
12．不等式组的解集为____________.
13．为了提高同学们的学习兴趣,学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛,其中两科都取得优秀的有80人,数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人,则两科均未取得优秀的人数为___________.
14．已知命题,为真命题,则实数的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求a的取值范围.
16．已知函数,.
(1)当时,,求的最小值;
(2)当时,,求关于x的不等式的解集.
17．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周（阴影部分）为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同）,塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式（写出函数定义域）;
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少？
18．已知二次函数,其中.
(1)若且,
①证明：函数必有两个不同的零点;
②设函数在x轴上截得的弦长为l,求l的取值范围;
(2)若且不等式的解集为,求的最小值.
19．设集合A为非空实数集,集合,且,称集合B为集合A的积集.
(1)当时,写出集合A的积集B;
(2)若A是由5个正实数构成的集合,求其积集B中元素个数的最小值;
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A,使其积集,并说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以的元素个数为4个.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,推不出,
而,
所以命题甲是命题乙的必要不充分条件,
故选:B
3．答案：D
解析：“对任意正整数,关于x,y,z的方程没有正整数解”的否定为：
存在正整数,关于x,y,z的方程至少存在一组正整数解.
故选：D.
4．答案：D
解析：对于A,取,得,A错误;
对于B,,则,B错误;
对于C,,则,C错误;
对于D,,D正确.
故选：D.
5．答案：C
解析：,
当且仅当即,时等号成立.
故选：C.
6．答案：C
解析：由题意,列不等式,得：,
整理得：.
又,,所以.
所以,每间客房每天的定价应为：(元).
故选：C.
7．答案：B
解析：因为,
故,得到,解得,
所以解集为,
故选：B.
8．答案：D
解析：由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选：D.
9．答案：ABD
分别令等于1,2,3,4,判断m,n是否为整数即可求解.
解析：对于选项A：,存在,或,使得其成立,故选项A正确;
对于选项B：,存在,,使得其成立,故选项B正确;
对于选项C：由,可得,,
若则可得,,不成立;
若则可得,,不成立;
若,可得,此时,,不成立;
同理交换m与n,也不成立,所以不存在m,n为整数使得成立,故选项C不正确;
对于选项D：,此时存在,或,使得其成立,故选项D正确,
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A,正实数x,y满足,
则有,解得,即,A选项正确;
对于B,,有,当且仅当,即,时等号成立,
则的最大值为,B选项错误;
对于C,,
由,则时,的最小值为,C选项正确;
对于D,,
当且仅当,即,时等号成立,
的最小值为,D选项错误.
故选：AC.
11．答案：BD
解析：对于选项A，因为，，，故A错误；
对于选项B，设，，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若，一定存在使不成立；若，则不成立，故C错误；
对于选项D，设，，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：由,得,即,
解得或,
由,得,解得,
所以
所以不等式组的解集为.
故答案为：.
13．答案：20
解析：如图所示
设两科均未取得优秀的人数为x,则
所以两科均未取得优秀的人数为20人.
14．答案：
解析：由题意得：当时,,不符题意;
当时,的对称轴为,
所以,只需,解得：,
当时,显然满足题意,
综上,的取值范围为,
故答案为：
15．答案：(1)或
(2)
解析：(1)由题意可得,
当时,,则或,
故或.
(2)当时,,解得,此时,符合题意,
当时,由,可得解得,
综上,a的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为时,,可得,
又因为,可得,
所以,
当且仅当时取等号,即当且仅当,时取得最小值为.
(2)因为当时,,可得,
则,
因为,所以,则解不等式可得或,
则不等式的解集为或.
17．答案：(1),
(2)矩形场地,时,运动场的面积最大,最大面积是
解析：(1)由已知,,,,故,
由,解得, .
,
根据,得,
,.
(2),
当且仅当,即时等号成立,此时.
所以,矩形场地,时,运动场的面积最大,最大面积是.
18．答案：(1)①证明见解析,②
(2)
解析：(1)若且,则,,
①,
函数必有两个不同的零点.
② 由及,得,
,
不妨设函数的零点为1,,则,
函数在x轴上截得的弦长.
(2)根据题意且,
且, ,
令,
则,
当且仅当,即,也即时取等号.
的最小值为.
19．答案：(1)
(2)7
(3)不存在,理由见解析
解析：(1)因为,
故集合B中所有可能的元素有,,,,,,即2,4,8,16,32,
.
(2)设,不妨设,
因为,所以B中元素个数大于等于7个,
又当时,,此时B中元素个数等于7个,
所以积集B中元素个数的最小值为7.
(3)不存在,理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合,使其积集,
不妨设,则集合A的生成集
则必有,,其4个正实数的乘积;
又,,其4个正实数的乘积,矛盾;
所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A,使其生成集.