重庆市松树桥中学校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份重庆市松树桥中学校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为( )
A.B.C.1D.
2．已知空间向量，，且，则( )
A.10B.6C.4D.
3．设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则( )
A.或B.或C.D.
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知三点，，共线，则( )
A.B.6C.D.2
6．如图,在平行六面体中,点E,F分别为,的中点,则( )
A.B.
C.D.
7．已知，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．如图所示,正方体的棱长为1,点E,F,G分别为BC,,的中点,则下列说法正确的是( )
A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行
C.三棱锥的体积为D.直线BC与平面AEF所成的角为
二、多项选择题
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是( )
A.
B.若，则
C.a在b上的投影向最为
D.，，一定能构成空间的一组基底
11．如图,边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直,动点M,N分别在正方形对角线和上移动,且,则下列结论中正确的有( )
A.,使
B.线段存在最小值,最小值为
C.直线与平面所成的角恒为45°
D.,都存在过且与平面平行的平面
三、填空题
12．点关于平面对称点是___________.
13．已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线的距离为__________.
14．在正三棱锥中，O是的中心，，则__________.
四、解答题
15．已知直线l经过两点，，同当m取何值时；
（1）直线l与x轴平行?
（2）直线l斜率不存在；
（3）直线的倾斜角为锐角？
16．如图，在平行大面体中，，.
（1）求体对角线的长度；
（2）求证：四边形为正方形.
17．如图，在多面体中，，，.侧面为矩形，平面，平面ABC，
（1）求直线与平面所成角的正弦值
（2）求直线到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，点N在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点M在线段上.
（1）若M为的中点，且直线与直线的交点为O，求的长，并证明直线平面；
（2）是否存在点M，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若下存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由直线l的倾斜角为，则直线l的斜率，故选，C.
2．答案：C
解析：因为，所以，即，，则.故选：C.
3．答案：A
解析：是直线l的方向向量，
是平面的法向量，
，
或.
故选:A.
4．答案：A
解析：因为A，B，C三点不共线，点P与A，B，C三点共面，
又，
所以，解得.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题可得，即，解得.故选B
6．答案：A
解析：根据题意,.
故选：A.
7．答案：D
解析：，
当且仅当时取等号.的最小值为.
故选D.
8．答案：B
解析：A选项:为正方体,所以,直线AF与直线不垂直,所以直线AF与直线不垂直,故A错误;
如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,
对于B,设平面AEF的法向量为,则,
令,则,
因为,所以,所以,
因为在平面AEF外,所以直线与平面AEF平行,所以B正确,
对于C,,所以三棱锥的体积为,所以C错误,
对于D,,,,直线BC与平面AEF所成的角为,,所以D错误,
故选:B.
9．答案：AD
解析：由图可得，，所以A，D正确.故选AD.
10．答案：BCD
解析：A选项，当a，c不共线时，与a共线，与c共线，故不可能成立，故A不正确.
B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，假设x，y，z不全为0，不妨设，此时有，故，矛盾；不妨设，，此时，
故a，b共线，矛盾；若三者均不为0，即，此时a，b，c共面，矛盾，综上，假设不成立，故，B正确.
C选项，a在b上的投影向量为，C正确.D选项，
设，即，无解，故，，不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确.故选BCD.
11．答案：AD
解析：因为四边形正方形,故,
而平面平面,平面平面,
平面,故平面,而平面,
故.
设,则,其中,
由题设可得,
,
对于A,当即时,,故A正确;
对于B, ,
故,当且仅当即时等号成立,故,故B错误;
对于C,由B的分析可得,
而平面的法向量为且,
故,此值不是常数,
故直线与平面所成的角不恒为定值,故C错误;
对于D,由B的分析可得,故,,为共面向量,
而平面,故平面,故D正确;
故选：AD.
12．答案：
解析：点关于平面对称点是
故答案为：.
13．答案：
解析：依题意，，，
所以点A到直线的距离，
故答案为：.
14．答案：16
解析：如图，
首先：，
又
所以
.
故答案为：16
15．答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解析：（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以.
（2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以.
（3）由题意可知，直线l的斜率，即，解得.
（4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得.
16．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）在平行六面体中，
，
由，，
得
所以
.
（2）在平行六面体中，，，
则四边形为平行四边形，由，，
得是等边三角形，即，则为菱形；
又，
则，即，
所以四边形为正方形.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为侧面为矩形，
所以，
因为平面，平面，
所以，，于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
（2）因为侧面为矩形，
所以，而平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设为h，
即.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设点到平面的距离为，
则，
由题可知，
所以，
所以点到平面的距离为.
（2）取的中点M，连接，因为，，
又平面平面且交线为，平面，，
所以平面，由（1）知.
由题意可得，，
所以，所以.
以D点为坐标原点，为轴，为轴，过点D作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
依题意，，，
所以.
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：（1），证明见解析；
（2）存在，
解析：（1）E，F分别为，中点，
，且，
又M为中点，且，，
易得，
连接，，交于点N，连接，
由题设，易知四边形为平行四边形，为中点，
，A是的中点，M为中点，，
又平面，平面，平面；
（2），，，
又平面，平面
即为二面角的平面角，
，取，中点O，P，连接，，如图
，，
，
，
，，
，，又平面，，
平面，平面，，，
则以O为生标跟点，，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直坐标系如下图所示
则，，，，
设，则，，，
设平面EMC的法向量可，则
令，则，，，
直线与平面所成的角为，
，
解得或
存在点M，当或，使得直线与平面所成的角为，设于面的法向量，又，，
令，则，，
当时，，
当时，，
缘上所选二面角的余弦值为