湖北省孝感市孝南区十校联谊2024-2025学年九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份湖北省孝感市孝南区十校联谊2024-2025学年九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，则k的取值围是( )
A．kC．k＜2D．k＞2
2、（4分）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A．＝0B．（2x+1）（x﹣3）＝1
C．ax2+bx＝0D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
4、（4分）若方程 + = 3有增根，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
5、（4分）如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
6、（4分）若直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是
A．-1B．0C．1D．2
7、（4分）把直线向下平移3个单位长度得到直线为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）在 RtABC 中， ∠C  90 ， AB  3 ， AC  2, 则 BC 的值（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当x___________时，是二次根式．
10、（4分）一次跳远中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有____人.
11、（4分）在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2OB2．则点B2的坐标_______
12、（4分）已知5+的整数部分为a，5-的小数部分为b，则a+b的值为__________
13、（4分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，，平分，垂直平分于点，若，求的长.
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为.
(1)画出将向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，并写出的坐标.
(2)画出关于原点成中心对称的，并写出的坐标.
16、（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
17、（10分）图1，图2是两张形状、大小完全相同的6×6方格纸，方格纸中的每个小长方形的边长为1，所求的图形各顶点也在格点上．
（1）在图1中画一个以点，为顶点的菱形（不是正方形），并求菱形周长；
（2）在图2中画一个以点为所画的平行四边形对角线交点，且面积为6，求此平行四边形周长．
18、（10分）解不等式组，并把解集表示在数轴上，再找出它的整数解．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）以1，1，为边长的三角形是___________三角形．
20、（4分）若关于有增根，则_____；
21、（4分）若关于若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是___．
22、（4分）将点先向左平移6个单位,再向下平移4个单位得到点,则的坐标是__．
23、（4分）在一次数学单元考试中，某小组6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，100，70。则这组数据的中位数分别是_________________________分。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某草莓种植大户，今年从草莓上市到销售完需要20天，售价为11元/千克，成本y（元/千克）与第x天成一次函数关系，当x=10时，y=7，当x=11时，y=6.1．
（1）求成本y（元/千克）与第x天的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）求第几天每千克的利润w（元）最大？最大利润是多少？（利润=售价-成本）
25、（10分）如图，边长为3正方形的顶点与原点重合，点在轴，轴上。反比例函数的图象交于点，连接，.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴的平行线，点在直线上运动，点在轴上运动.
①若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
②将“①”中的“以为直角顶点的”去掉，将问题改为“若是等腰直角三角形”，的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）
26、（12分）等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①．
（1）求证：AM＝CM；
（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．
①求证：AM＝CM，AM⊥CM；
②若AB＝4，求△AOM的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据当x1＜0＜x2时，y1＞y2可得双曲线在第二，四象限，1－2k＜0，列出方程求解即可．
【详解】
解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
又∵x1＜0＜x2时，y1＞y2，
∴函数图象在二四象限，
∴1﹣2k＜0，
∴k＞，
故选B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，得出1－2k＜0是关键，较为简单．
2、D
【解析】
根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案.
【详解】
已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.因为长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图像也是直线，但斜率小于初期，综上所述答案选D.
能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键.
3、B
【解析】
试题分析：根据一元二次方程的定义:
A、x2+=0是分式方程；
B、（2x﹣1）（x+2）=1，即2x2+3x﹣3=0是一元二次方程；
C、ax2+bx=0中a=0时，不是一元二次方程；
D、3x2﹣2xy﹣5y2=0是二元二次方程；
故选B．
考点：一元二次方程的定义
4、A
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
【详解】
方程两边都乘（x-2），得
x-1-a=3（x-2）
∵原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得a=1，
故选：A．
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5、A
【解析】
利用平行四边形的性质得出AO=CO，DO=BO，再利用勾股定理得出AD的长进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，
∴DO=3cm，AO=5cm，则AD=BC==4(cm)
故选；A.
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用勾股定理进行求解.
6、D
【解析】
联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【详解】
解：联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：a＞1．
故选D．
本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．
7、D
【解析】
根据直线平移的性质，即可得解.
【详解】
根据题意，得
故答案为D.
此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握，即可解题.
8、A
【解析】
根据勾股定理即可求出.
【详解】
由勾股定理得，.
故选.
本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、≤；
【解析】
因为二次根式满足的条件是:含二次根号,被开方数大于或等于0,利用二次根式满足的条件进行求解.
【详解】
因为是二次根式,
所以,
所以,
故答案为.
本题主要考查二次根式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的定义.
10、20
【解析】
根据频率的计算公式即可得到答案.
【详解】
解：
所以可得参加比赛的人数为20人.
故答案为20.
本题主要考查频率的计算公式，这是数据统计的重点知识，必须掌握.
11、（）
【解析】
根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2018的坐标位置，进而得出答案.
【详解】
解:∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2÷4=503…1，
∴点B2与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2（22，-22）．
故答案为：（22，-22）.
此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键.
12、12-
【解析】
先估算的取值范围，再求出5+与5-的取值范围，从而求出a，b的值．
【详解】
解：∵3＜＜4，
∴8＜5+＜9，1＜5-＜2，
∴5+的整数部分为a=8，5-的小数部分为b=5--1=4-，
∴a+b=8+4-=12-，
故答案为12-．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的范围．
13、1
【解析】
作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=1，根据角平分线的性质解答即可.
【详解】
作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=PC=1，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=1，
故答案为：1．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、的长为.
【解析】
根据角平分线的性质可得DE=CE，根据垂直平分线可得AE=BE，进而得到，设，则，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到关于x的方程，然后求解方程即可.
【详解】
解：设，则，
平分，，，
，
又垂直平分，
，
，
在中，，
，
，即，
解得.
即的长为.
本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
15、 (1)见解析，的坐标；(2)见解析，的坐标.
【解析】
(1)根据平移的性质即可得到答案；
(2)根据中心对称的性质即可得到答案.
【详解】
(1)平移如图，即为所求.
的坐标
(2)如图，即为所求.
的坐标
本题考查平移的性质和轴对称的性质，解题的关键是掌握平移的性质和轴对称的性质.
16、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
分析：（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；
（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
点睛：考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．
17、（1）图见解析；菱形周长为；（2）图见解析；平行四边形的周长为6＋2．
【解析】
（1）以AB为一边，根据菱形的四条边相等进行作图即可，求出AB的长，即可得到菱形的周长；
（2）根据点A为所画的平行四边形对角线交点且面积为6进行作图即可，然后再利用勾股定理求平行四边形的周长即可．
【详解】
解：（1）如图所示，菱形ABCD即为所求，
∵AB＝，
∴菱形ABCD的周长＝；
（2）如图所示，平行四边形BCDE即为所求，
∵BC＝3，CD＝，
∴平行四边形BCDE的周长＝2×（3＋）＝6＋2．
本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质以及勾股定理，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
18、，图详见解析
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来，结合数轴可知其整数解．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
则不等式组的解集为
在数轴上表示为：
其整数解为：-1，0，1．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、等腰直角
【解析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理进行判断即可．
【详解】
∵
∴是等腰三角形
∵
∴是直角三角形
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的证明问题，掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
20、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x﹣1），得
1－ax+3x=3x﹣3，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=1．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．
21、a＞1且a≠2
【解析】
分式方程去分母得：2x﹣a=x﹣1，解得：x=a﹣1，
根据题意得：a﹣1＞0，解得：a＞1．
又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入x=a﹣1得a=2．
∴要使分式方程有意义，a≠2．
∴a的取值范围是a＞1且a≠2．
22、
【解析】
根据向上平移，纵坐标加，向左平移，横坐标减进行计算即可．
【详解】
解：将点A（4，3）先向左平移6个单位，再向下平移4个单位得到点A1，则A1的坐标是（4-6，3-4），即（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
本题考查了点的坐标平移，根据上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，熟记平移规律是解题的关键．
23、75
【解析】
根据中位数的定义即可求解.
【详解】
先将数据从小到大排序为65，70，70，80，90，100，
故中位数为(70+80)=75
此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=-0.1x+8（0＜x≤20且x为整数）；
（2）第20天每千克的利润最大，最大利润是9元/千克．
【解析】
（1）根据题意和当x=10时，y=7，当x=11时，y=6.1，可以求得一次函数的解析式及自变量x的取值范围；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质和（1）中x的取值范围即可解答本题．
【详解】
解：（1）设成本y（元/千克）与第x天的函数关系式是y=kx+b，
，得，
即成本y（元/千克）与第x天的函数关系式是y=-0.1x+8（0＜x≤20且x为整数）；
（2）w=11-（-0.1x+8）=0.1x+7，
∵0＜x≤20且x为整数，
∴当x=20时，w取得最大值，此时w=0.1×20+7=9，
答：第20天每千克的利润w（元）最大，最大利润是9元/千克．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25、（1）；（2）①或.②1或2.
【解析】
（1）设的坐标分别为，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题．
（2）①分两种情形画出图形：当点P在线段BM上，当点P在线段BM的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1））∵四边形OACD是正方形，边长为3，
∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，
∵反比例函数的图象交AC，CD于点B，E，
设的坐标分别为.
∵S△OBE=4，
可得，.
解得，，（舍）.
所以，反比例函数的解析式为.
（2））①如图1中，设直线m交OD于M．
由（1）可知B（1，3），AB=1，BC=2，
当PC=PQ，∠CPQ=90°时，
∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，
∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，
∴∠PCB=∠MPQ，∵PC=PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC=PM=2，PB=MQ=1，
∴PC=PQ=
∴S△PCQ=
如图2中，当PQ=PC，∠CPQ=90°，
同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM=BC=2，OM=PB=1，
∴PC=PQ=，
∴S△PCQ=.
所以，的面积为或.
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ=PQ=，此时S△PCQ=1．
或CQ′=PQ′=，可得S△P′CQ′=2，
不存在点C为等腰三角形的直角顶点，
综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是1或2．
故答案为1或2．
本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）见解析；（1）①见解析，②1
【解析】
（1）直接利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（1）①延长CM交OB于T，先判断出△CDM≌△TBM得出CM＝TM，DC＝BT＝OC，进而判断出△OAC≌△BAT，得出AC＝AT，即可得出结论；
②先利用等腰直角三角形的性质求出再求出OD，DC＝CO＝，再用勾股定理得出CT，进而判断出CM＝AM，得出AM＝OM，进而求出ON，再根据勾股定理求出MN，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵∠OAB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点M是BD的中点，
∴AM＝BD，
∵DC⊥OB，
∴∠BCD＝90°，
∵点M是BD的中点，
∴CM＝BD，
∴AM＝CM；
（1）①如图②，
在图①中，∵AO＝AB，∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠AOB＝45°，
∵DC⊥OB，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ODC＝∠AOB，
∴OC＝CD，
延长CM交OB于T，连接AT，
由旋转知，∠COB＝90°，DC∥OB，
∴∠CDM＝∠TBM，
∵点M是BD的中点，
∴DM＝BM，
∵∠CMD＝∠TMB，
∴△CDM≌△TBM（ASA），
∴CM＝TM，DC＝BT＝OC，
∵∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝45°＝∠ABO，
∵AO＝AB，
∴△OAC≌△BAT（SAS），
∴AC＝AT，∠OAC＝∠BAT，
∴∠CAT＝∠OAC+∠OAT＝∠BAT+∠OAT＝∠OAB＝90°，
∴△CAT是等腰直角三角形，
∵CM＝TM，
∴AM⊥CM，AM＝CM；
②如图③，在Rt△AOB中，AB＝4，
∴OA＝4，OB=＝AB＝4，
在图①中，点D是OA的中点，
∴OD＝OA＝1，
∵△OCD是等腰直角三角形，
∴DC＝CO＝ODsin45°=＝，
由①知，BT＝CD，
∴BT＝，
∴OT＝OB﹣TB＝3，
在Rt△OTC中，CT＝＝1，
∵CM＝TM＝CT＝＝AM，
∵OM是Rt△COT的斜边上的中线，
∴OM＝CT＝，
∴AM＝OM，
过点M作MN⊥OA于N，则ON＝AN＝OA＝1，
根据勾股定理得，MN＝＝1，
∴S△AOM＝OA•MN＝×4×1＝1．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及三角函数的应用，构造出全等三角形是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分