湖北省武汉市第十七中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是
A. 至少有一个红球，至少有一个白球
B. 恰有一个红球，都是白球
C. 至少有一个红球，都是白球
D. 至多有一个红球，都是红球
【答案】B
【解析】
【详解】由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．
易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；
而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．
故选B
点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
2. 对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共面向量的推论判断.
【详解】A选项：，故A错；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错；
D选项：，故D错.
故选：B.
3. 向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，．
【详解】设；
由题意可知，
，解得；
在基底下的坐标为．
故选：A．
4. 如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可得，
而
.
故选：B
5. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
6. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得.
【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，
该电子元件能正常工作为事件，
则，，
，所以，
所以，
即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出.
7. 已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图象可得，再利用空间向量数量积的运算律可得两平面夹角的余弦值.
【详解】由题可知，、在直线上，，，且，，如下图，
故，，，，，，
因为，
故，
故，解得，
所以平面和平面的夹角的余弦值是.
故选：A
8. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】经过点的直线方程为，即，
故直线的一个方向向量为，
又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则.
故选：A
二.多选题（共3小题）
9. 设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若，，则当且仅当时，是互斥事件
B. 若，，则是必然事件
C. 若，，则时是独立事件
D. 若，且，则是独立事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件，独立事件和必然事件的定义逐个分析判断
【详解】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，
而此时不是必然事件，所以B错误，
对于C，因为，，，，
所以，得，
所以，所以是独立事件，所以C正确，
对于D，因为，所以，
因为， ，所以PAB=PAPB，
所以是独立事件，则也是独立事件，所以D正确，
故选：ACD
10. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 点到直线的距离为
D. 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，，，
因为，所以A正确；
，
在方向上的投影向量为，所以B错误；
在方向上的投影向量的长度，
点到直线的距离为故C正确；
，
的面积，故D正确；
故选：ACD．
11. 正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）
A. 与是异面直线
B. 平面平面
C. 存在点使得
D. 当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，可证明与共线；选项B，利用面面垂直的判定定理证明；选项C，假设结论成立能推出矛盾；选项D，截面是等腰梯形，可求面积.
【详解】因为、、共线，又，即、、、共面，因此与共面，故A选项不正确；
正方体中，，，，、平面，
平面，因为平面，∴平面平面，故B选项正确；
已知为线段上的动点（不包括两个端点），设，
假设存在点使得，则有：
解得，与重合，与已知矛盾，故C选项不正确；
当为线段中点时，为线段中点，连接，如图所示：
有，得 ，因为，同理,
过、、三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形，
正方体的棱长为2，，，，
过点作，交于点，由，，
从而可得等腰梯形高为，∴截面等腰梯形的面积为，
所以过、、三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D选项正确；
故选：BD.
三.填空题（共3小题）
12. 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
13. 已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________．
【答案】1
【解析】
【分析】依题意求得，再利用点到平面的距离公式即可得解.
【详解】因为，点，所以，
又的一个法向量为，
所以到平面的距离为.
故答案为：1．
14. 的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得，即可利用面积可得有根，即可利用判别式求解.
【详解】由可得，
即，
由于，故，
由于，故，因此，故，
，
的面积为，故，
由于，，
故，令,
将代入可得，
化简得，
将代入，且可得，
则，解得，或，（舍去）
故最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由可得有实数根，利用判别式求解.
四.解答题（共5小题）
15. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点．
（1）求证：//平面；
（2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点为，证明//，即可由线线平行证明线面平行；
（2）过作平面的垂线，结合几何特点求得，再求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
取中点为，连接，如下所示：
在△中，因为分别为的中点，故//；
又，故//，则四边形为平行四边形，//；
又面面，故//面.
【小问2详解】
过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示：
由（1）可知，//，故平面也即平面；
因为//，则；
又面面，故；
又面，故面；
又面，则，又；
面，故面，
则即为与平面的夹角；
在△中，因为，则，；
在△中，因为，，则；
又，，即直线与平面所成角的正弦值为.
16. 2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．
（1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率．
（2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．
（i）求小博得2分的概率；
（ii）求小博得分比小智得分高的概率．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）（i）利用古典概型的概率公式计算可得；（ii）设小博得分为，小智得分为，求出，，，，再根据独立事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
设事件为小李同学前三个多选题错一个题，
则.
【小问2详解】
（i）因为最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确答案为，
而小博打算从中随机选择两个选项，则共有种，其中选中错误答案的有种，
所以小博得2分的概率.
（ii）设小博得分为，由（i）可知，，
设小智得分为，则，，
设小博得分比小智得分高为事件，则.
17. 如图，在三棱柱中底面为正三角形，．
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到，即可得证；
（2）取的中点，连接交于点，连接、，即可得到为异面直线与所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以
，
所以，即.
【小问2详解】
取的中点，连接交于点，连接、，
则为的中点，所以，所以为异面直线与所成角或其补角，
在等边三角形中，
在平行四边形中
，
所以，所以，
因为，，所以，
在矩形中，所以，
在中由余弦定理，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18. 2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．

（1）根据频率分布直方图，估计这人的第60百分位数（精确到0.1）；
（2）现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．
【答案】（1）
（2）①；②平均数为38，方差约为10.
【解析】
【分析】（1）先确定第60百分位数所在小组，再根据求百分位数公式进行计算；
（2）①求出从第四组和第五组所抽人数，写出样本空间，利用古典概型求概率公式进行计算；
②根据数据求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，从而利用局部方差和整体方差的公式进行求解.
【小问1详解】
设第60百分位数为，
因为，，
所以位于第三组：内，
所以.
【小问2详解】
①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为，
即第四组4人，记为A，B，C，甲，第五组2，记为D，乙，
对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲， CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点.
所以；
②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为.
据此估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10.
19. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且．
（1）若点为线段的中点，证明：平面；
（2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据中位线和平行四边形性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明；
（2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.
【小问1详解】
取中点，连接，，
因为分别为中点，
所以，，
因为四边形为菱形，为中点，
所以，，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
因为，四边形为菱形，
所以三角形等边三角形，
因为为中点，
所以，，
所以两两垂直，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
，
所以，
所以线段上存在点，使得直线与平面所成角正弦值为，
此时.
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754