湖北省武汉市武昌实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知，且，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量是（）
A. B.
C. D.
3. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（）
A. B. C. D.
4. 如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（）
A. B.
C. D.
5. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
6. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（）
A. B. C. D.
7. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（不同时为0可以表示坐标空间内的平面.过点一个法向量为平面方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（）
A. B. C. D.
二､多选题
9. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）
A. 若A与B相互独立，则B. 若，则事件A与相互独立
C. 若A与B互斥，则D. 若B发生时A一定发生，则
10. 若三棱锥体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（）
A. B. C. D.
11. 如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（）
A. 平面
B. 平面
C. 和平面所成角的正弦值为
D. 四面体外接球的表面积为
三､填空题
12. 直线过点，两点，直线过点，两点，若，则______.
13. 已知集合，在M中可重复地依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是________．
14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________.
四､解答题
15. 已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
（1）已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
17. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与交点．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；
（3）判定平面ABC与平面的位置关系．
18. 如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角正切值等于，求到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．

（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则：
①求证：；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．