湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：2024年10月10日下午15:00-17: 00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（ ）
A 14B. 15C. 23D. 25
3. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ）
A. B. 8
C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）

A. 3B. C. D.
6. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与互斥B.
C. D. 两两相互独立
7. 若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A. B. 2C. D.
8. 在中，，，是的外心，则的最大值为（ ）
A 2B.
C. D. 4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
10. 已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的值域为
D. 函数的一条对称轴为
11. 在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥的外接球的表面积为
B. 过点，，作正方体的截面，则截面面积为
C. 若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为
D. 若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，两点到直线的距离相等，则__________．
13. 在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________．
14. 对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若是边上的一点， 且满足，，求的最大值．
16. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
（1）求直线方程；
（2）求的面积．
17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
（2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．
（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的正弦值；
（3）设直线与平面所成线面角为，求的最大值．
19. 对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”．
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．