浙江省杭州市上城区丁荷中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区丁荷中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知的半径为5，，则点在
A．圆上B．圆内C．圆外D．不能确定
2．（3分）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A．B．C．D．
3．（3分）若是二次函数，且开口向上，则的值为
A．B．C．D．0
4．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，则的长是
A．4.5B．8C．10.5D．14
5．（3分）抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
6．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，是的直径， 弦，垂足为，若，，则的半径为
A ． 4B ． 5C ． 8D ． 10
8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
9．（3分）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
以下结论正确的是
A．抛物线的开口向下
B．当时，随增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ．
二.填空题（共24分）
11．（4分）已知，，是，的比例中项，则 ．
12．（4分）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ．
13．（4分）如图，为的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ．
14．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②；③；④．
15．（4分）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ．
16．（4分）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ．
三、解答题（共66分）
17．如图，已知与交于点，，
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
20．如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作，分别与两边相交于点，和点，，连结，此时有．
（1）求证：；
（2）若弦，求的长．
21．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
（1）请直接写出（个与（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
24．如图，抛物线与直线交于点，，点是抛物线、两点间部分上的一个动点（不与点、重合），直线与轴平行，交直线于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出当取最大值时的点的坐标．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区丁荷中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）已知的半径为5，，则点在
A．圆上B．圆内C．圆外D．不能确定
【分析】根据的半径为和点到圆心的距离与圆与点的位置关系即可求解．
【解答】解：的半径为5，，
，
点在圆外．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上； ①点在圆内是解题的关键．
2．（3分）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A．B．C．D．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【解答】解：抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是．
故选：．
【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．（3分）若是二次函数，且开口向上，则的值为
A．B．C．D．0
【分析】根据定义以及二次函数的性质可求的值．
【解答】解：这个式子是二次函数，
解得：，
又开口向上，即，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义与性质．
4．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，则的长是
A．4.5B．8C．10.5D．14
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
5．（3分）抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由抛物线与轴有两个交点，则△，从而求出的取值范围．
【解答】解：抛物线与轴有两个交点，
△，
即，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，注：①抛物线与轴有两个交点，则△；②抛物线与轴无交点，则△；③抛物线与轴有一个交点，则△．
6．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．
【解答】解：，
对称轴为，开口向下，
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
7．（3分）如图，是的直径， 弦，垂足为，若，，则的半径为
A ． 4B ． 5C ． 8D ． 10
【分析】连接． 根据垂径定理和勾股定理求解 ．
【解答】解： 连接，
，
，，由勾股定理可得，解得
故选：．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解 ． 作辅助线构成直角三角形是关键 ．
8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
9．（3分）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
以下结论正确的是
A．抛物线的开口向下
B．当时，随增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
【分析】将表格内点坐标代入中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
【解答】解：将，，代入得：
，
解得，
．
．，
抛物线开口向上，
故错误，不符合题意．
．图象对称轴为直线，且开口向上，
时，随增大而增大，
故错误，不符合题意．
．，
当或时，
故正确，符合题意．
．抛物线开口向上，与轴交点坐标为，，
或时，，
故错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 1 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ．
【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值．
【解答】解：直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
直线经过点，直线与抛物线都经过点，点，，在直线上，点，在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
，两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入，得
．
解得，．
．
抛物线的解析式为，
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：1；．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
二.填空题（共24分）
11．（4分）已知，，是，的比例中项，则 ．
【分析】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值．
【解答】解：是，的比例中项，
，
又，，
，
解得．
【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．
12．（4分）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ．
【分析】先计算圆心角为，根据弧长公式，可得结果．
【解答】解：连接，
，
，
弧的长，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
13．（4分）如图，为的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 或 ．
【分析】首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可．
【解答】解：，
，
，
弦所对的圆周角的度数是：；
弦所对的优弧的度数为：，
弦所对的圆周角的度数是：；
综上，可得弦所对的圆周角的度数是或．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
14．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 ①③④ （填序号）．
①；②；③；④．
【分析】根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，，，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
15．（4分）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ．
【分析】连接，设的半径为，由，根据垂径定理得，在中，，，根据勾股定理得到，解得，则，由于为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
【解答】解：连接，设的半径为，如图，
，
，
在中，，，
，
，解得，
，
，
为直径，
，
在中，．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．
16．（4分）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ．
【分析】连接、，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，在△中利用勾股定理求出即可；过点作交于点，利用圆周角定理求出，从而证明△是等腰直角三角形，在△中利用勾股定理求出、，在△中利用勾股定理求出，从而由计算出．
【解答】解：连接、．
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
过点作交于点，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
在△中，利用勾股定理，得，
．
故答案为：，．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理，掌握圆周角定理、勾股定理、垂径定理及平行线的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共66分）
17．如图，已知与交于点，，
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似，即可证得：；
（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
【解答】（1）证明：，
（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）；
（2）解：，
．
，，，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）．此题很简单，解题时要注意细心．
18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；
（2）在△中，由勾股定理可求得半径的长．
【解答】解：（1）作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接，设，，，
则根据勾股定理列方程：
，
解得：．
答：圆的半径为．
【点评】本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．
19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【分析】（1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：．
（2）连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，
设直线的解析式为：，
点，点，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点的坐标为：．
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键．
20．如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作，分别与两边相交于点，和点，，连结，此时有．
（1）求证：；
（2）若弦，求的长．
【分析】（1）由平分可得，由可得，从而有，则有．
（2）过点作于，如图．根据垂径定理可得，从而可求出，在△中，运用勾股定理可求出的长，从而进一步可得的长．
【解答】（1）证明：如图，
平分，
．
，
，
，
．
（2）解：过点作于，如图．
根据垂径定理可得，
．
在△中，
，
由勾股定理得：．
则的长为．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．
21．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理，由为的直径得到，然后利用等腰三角形的性质即可得到；
（2）连接，如图，证明，然后利用相似比可计算出的长，从而得到的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为的直径，
，
，
而，
；
（2）连接，如图，
，
，
，
而，
，
，即，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．
22．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
（1）请直接写出（个与（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为个与销售单价为元的函数关系式；
（2）根据销售利润等于单个利润与销售量的乘积列出函数关系式，再令元，解关于的一元二次方程，从而可求得售价；
（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
【解答】解：（1）由题意，得：，
；
（2）设利润为，
则，
令，
则，
解得：或，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3），
，
当时，有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出与的函数关系式是解题的关键．
23．如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
【分析】（1）如图1，设，，根据圆周角定理得到，连接，由为直径，得到，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到，等量代换得到，于是得到结论；
（3）如图2，连接，根据圆周角定理得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
连接，
为直径，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．如图，抛物线与直线交于点，，点是抛物线、两点间部分上的一个动点（不与点、重合），直线与轴平行，交直线于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出当取最大值时的点的坐标．
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线的解析式，求得、的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设直线为：．将、的坐标代入可得到，的方程组，从而可求得，于是得到直线的解析式，记与轴的交点坐标为．过点作，垂足为．设则，依据三角形的面积公式可得到与的函数关系式，接下来由抛物线的对称轴方程，可求得的值，于是可得到点的坐标．
【解答】解：（1）由题意得解得：，
．
（2）设直线为：．则，解得
直线的解析式为．
如图所示：记与轴的交点坐标为．过点作，垂足为．
设则．
，
．
．
，
当时，有最大值．
当时，．
点，．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、二次函数的性质，用含的式子表示出的长，从而得到与的关系式是解题的关键．0
1
2
3
3
0
3
0
1
2
3
3
0
3