+浙江省杭州市上城区东城实验学校2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份+浙江省杭州市上城区东城实验学校2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是
A．B．C．D．
2．（3分）已知，则的值为
A．B．C．D．
3．（3分）已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是
A．5B．6C．8D．10
4．（3分）已知的半径长为1，，则可以得到的正确图形可能是
A．B．
C．D．
5．（3分）下列命题中是真命题的为
A．弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆的两条平行弦所夹的弧相等
D．相等的圆周角所对的弧相等
6．（3分）如图，是的直径，，则等于
A．B．C．D．
7．（3分）已知，，是抛物线上的点，则
A．B．C．D．
8．（3分）已知函数的对称轴为直线，则关于的方程的根为
A．0，6B．1，7C．1，D．，7
9．（3分）已知二次函数，它的图象可能是
A．B．
C．D．
10．（3分）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是
A．4B．C．8D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ．
12．（4分）若，，则和的比例中项 ．
13．（4分）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则方程的解是 ，不等式的解集是 ．
14．（4分）如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．
15．（4分）如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且．若半圆的直径为13，，则的长为 ．
16．（4分）已知点在抛物线上，当时，总有，当时总有，则的值为 ．
三、解答题：本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（6分）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“兰”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ；
（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率．
18．（6分）已知正六边形的外接圆圆心为，半径．
（1）求正六边形的边长；
（2）求的长度．
19．（6分）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．
（1）求的长；
（2）如果水位以0.4米小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象与轴，轴的交点分别为和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围．
21．（10分）如图，在中，，，，点在上，从点到点运动（不包括点），点运动的速度为；点在上从点运动到点（不包括点），速度为．若点，分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，，两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
22．（12分）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的圆经过点，点是直径上一点（不与、重合），延长交圆于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，
①求的度数；
②若，求的长．
23．（12分）设二次函数，其中是常数，且．
（1）当时，试判断点是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点，求该函数的表达式．
（3）当时，随的增大而减小，求的取值范围．
24．（6分）根据背景素材，探索解决问题．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区东城实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项的图形．
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）已知，则的值为
A．B．C．D．
【分析】利用合比性质解答．
【解答】解：由，得．
故选：．
【点评】考查了比例的性质，此题比较简单，熟记合比性质即可解题．
3．（3分）已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是
A．5B．6C．8D．10
【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：．
故选：．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
4．（3分）已知的半径长为1，，则可以得到的正确图形可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．
【解答】解：的半径长1，若，
，
点在圆外，
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
5．（3分）下列命题中是真命题的为
A．弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆的两条平行弦所夹的弧相等
D．相等的圆周角所对的弧相等
【分析】根据弦和直径的关系、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．
【解答】解：、直径是弦，但弦不一定是直径，故本小题命题是假命题，不符合题意；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题命题是假命题，不符合题意；
、圆的两条平行弦所夹的弧相等，是真命题，符合题意；
、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题命题是假命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）如图，是的直径，，则等于
A．B．C．D．
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（3分）已知，，是抛物线上的点，则
A．B．C．D．
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，函数值最大，
又到的距离比1到的距离小，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
8．（3分）已知函数的对称轴为直线，则关于的方程的根为
A．0，6B．1，7C．1，D．，7
【分析】先根据二次函数的对称轴是直线求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可．
【解答】解：二次函数的对称轴是直线，
，
解得，
关于的方程可化为，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴交点，二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
9．（3分）已知二次函数，它的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．
【解答】解：二次函数，
当时，，
即该函数的图象过点，故选项错误；
该函数的顶点的横坐标为，
当时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项正确，选项错误；
当时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项错误；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是
A．4B．C．8D．
【分析】以为边作直角三角形，作等腰直角三角形的外接圆，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：以为边作等腰直角三角形，作的外接圆，
为等腰直角三角形，，
，
，
点在优弧上，
当为外接圆的直径时，最大，且最大值为8，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，根据题意画出图形是解答本题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ．
【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
12．（4分）若，，则和的比例中项 2或 ．
【分析】根据比例中项的概念，得，再利用平方根的意义计算得到的值即可．
【解答】解：是，的比例中项，
，
又，，
，
解得：；
故答案为：2或．
【点评】本题考查了比例中项的概念、平方根的求法；熟练掌握比例中项的概念得出是解决问题的关键．
13．（4分）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则方程的解是 或 ，不等式的解集是 ．
【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解．
【解答】解：当时，，当时，，
二次函数的对称轴为直线．
当时，，
当时，．
方程的解是或．
当时，，
当时，．
当时，随的增大而增大，
．
不等式的解集是或．
故答案为：或；或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
14．（4分）如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，因此，由圆周角定理推出，，即可得到．
【解答】解：垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是圆的直径，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，由圆周角定理推出，．
15．（4分）如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且．若半圆的直径为13，，则的长为 ．
【分析】先连结，根据判定，再根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得和的长，再根据面积法即可求得的长．
【解答】解：连结，
是直径，
，
，
，
又，
，
，
即为等腰三角形，，
，
在中，，，
，，
是直径，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理的推论等知识，掌握圆周角定理的推论是解答本题的关键．
16．（4分）已知点在抛物线上，当时，总有，当时总有，则的值为 ．
【分析】依解析式可知顶点坐标，根据当时，总有，可知，由增减性可列不等式组，解出即可．
【解答】解：抛物线，
抛物线的顶点为，
当时，总有，
不可能大于0，
则，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
当时，总有，当时，总有，且与对称，
时，，时，，
当或7时，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握增减性．
三、解答题：本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（6分）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“兰”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ；
（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【解答】解：（1）由题意，从中任取一个球共有4种结果，
则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为，
故答案为：．
（2）由题意，画出树状图如下：
由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果有2种，
则小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为，
答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为．
【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
18．（6分）已知正六边形的外接圆圆心为，半径．
（1）求正六边形的边长；
（2）求的长度．
【分析】（1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到；
（2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：（1），，
是等边三角形，
；
（2），
，
，
的长．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质．
19．（6分）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．
（1）求的长；
（2）如果水位以0.4米小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【分析】（1）设米，则米，由勾股定理求得的长，即可得出结论；
（2）延长交圆于点，求得的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）直径米，
（米，
，
，
，
，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
解得：（负值已舍去），
米，
（米；
（2）由（1）得：米，
如图，延长交圆于点，
（米，
（小时），
答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象与轴，轴的交点分别为和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）把和代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）由图象可知，抛物线得对称轴为，再根据当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大求解即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴、轴的交点分别为和，
得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）由图象可知，抛物线得对称轴为，
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，，
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
21．（10分）如图，在中，，，，点在上，从点到点运动（不包括点），点运动的速度为；点在上从点运动到点（不包括点），速度为．若点，分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，，两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）由勾股定理和二次函数的性质可求解；
（2）由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，
，
当时，最小，最小值为；
答：经过时间后，，两点的距离最短，最短距离是；
（2），
当时，面积最大值为9．
【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，三角形的面积公式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（12分）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的圆经过点，点是直径上一点（不与、重合），延长交圆于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，
①求的度数；
②若，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得到，根据圆周角定理得出，即可求解．
（2）①连接，由圆周角定理得到，再由可求解；②作，只要证明为等腰直角三角形即可求解．
【解答】解：（1），
，
又，
．
（2）连接，
，，
，
，
且，
．
②作于，
，
，
，
，
，，，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（12分）设二次函数，其中是常数，且．
（1）当时，试判断点是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点，求该函数的表达式．
（3）当时，随的增大而减小，求的取值范围．
【分析】（1）将的值代入，得出二次函数解析式，再将点的坐标代入验证即可．
（2）用待定系数法即可解决问题．
（3）利用分类讨论的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）将代入二次函数解析式得，
．
将代入二次函数解析式得，
，
所以点在该函数图象上．
（2）因为函数的图象经过点，
所以，
解得或，
当时，
该函数的表达式为；
当时，
该函数的表达式为；
所以该函数的表达式为：或．
（3）由题知，
二次函数的表达式可化为，
所以该抛物线的对称轴为直线．
又因为当时，随的增大而减小，
则当时，
，
解得或，
所以．
当时，
，
解得或，
所以．
综上所述：的取值范围是或．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（6分）根据背景素材，探索解决问题．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出，两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可；
任务2：作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，记圆心为，连接、．观察图形，得出观察图形，、、的长，设，则，根据勾股定理，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径．
【解答】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，，两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，则（时，
，两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，则（肘，
答：，两点之间的铅垂距离（高度差）为4肘，铅垂距离（高度差）为4肘；
任务2：如图，作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，记圆心为，连接、，
观察图形，（肘，（肘，（肘，
设，则，
，，，
，
解得：，
，
石拱桥拱圈的半径为肘．
答：石拱桥拱圈的半径肘．
【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．1
2
3
0
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图，石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．

素材2
通过观察发现，，三个点都在拱圈上，是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，，两个点都是花岗岩的顶点（如图．

素材3
如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图，利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图．

问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算，两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
1
2
3
0
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图，石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．

素材2
通过观察发现，，三个点都在拱圈上，是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，，两个点都是花岗岩的顶点（如图．

素材3
如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图，利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图．

问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算，两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．