66， 浙江省杭州市下城区采荷中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

这是一份66， 浙江省杭州市下城区采荷中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．旭日东升D．夕阳西下
2．（3分）已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝6，则线段AB的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如果将抛物线y＝3x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，那么得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3x2+x+2B．y＝3x2﹣x+2
C．y＝3x2﹣6x+5D．y＝3x2+6x+5
6．（3分）下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．
②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧．
③能够完全重合的两条圆弧是等弧．
④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①B．②C．③D．④您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高7．（3分）如图，△ADF是⊙O的内接正三角形，四边形ACEG是⊙O的内接正方形，六边形ABDEFH是⊙O的内接正六边形，设上述正三角形周长为C1、正方形周长为C2、正六边形周长为C3，则C1：C2：C3为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）设二次函数y＝a（x﹣n）（x﹣n﹣m）（a＜0，n，m是实数），则（ ）
A．当m＝2时，函数y的最大值为﹣a
B．当m＝2时，函数y的最大值为﹣2a
C．当m＝4时，函数y的最大值为﹣a
D．当m＝4时，函数y的最大值为﹣2a
9．（3分）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则＝（ ）
A．1：3B．C．1：2D．4：9
10．（3分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2）
B．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2
C．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）
D．当x1＝2x2时，d（x1）＝2 d（x2）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
12．（4分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的对称轴是直线 ．
13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为 ．（结果保留根号）
14．（4分）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程．
15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
16．（4分）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB⊥CH，AB＝6，AD＝5，CH＝4，P边AB一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′．
①如图1，若点C′落在射线CA上时，则BP＝ ．
②若Rt△C′AD′是以∠C′AD′为直角时，则BP＝ ．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分）
17．（6分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，求DE的长．
18．（6分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，﹣4）和B（0，﹣4）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣1时，请根据图象直接写出x的取值范围．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若点E是弧AB中点，求AE的长．
（2）若∠BAC＝50°，求弧DE的长．
20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ ，n＝ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，EB＝CF＝1．
（1）求证：△ABF∽△HFE．
（2）若，设AB＝x，FH＝y，求y关于x函数表达式．
22．（10分）根据背景素材，探索解决问题．
23．（10分）已知二次函数的顶点在y2＝kx+m上．
（1）试说明该二次函数y1的图象与x轴必有两个交点；
（2）求k的值；
（3）当y＝y1+y2的图象经过P（﹣1，p），Q（4，q）两个点．求证：p+q≥8．
24．（12分）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC的外心，作△ABC外接圆⊙O，延长BO，交AC于点D．
（1）若△BCD与△ABC相似，求∠ACB度数；
（2）连OA，求证：AD2＝OD•BD；
（3）如图2，在BO的延长线上取点E，连接AE，若AE为⊙O切线，AD＝2，CD＝3，cs∠ABC＝ ．
参考答案与解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．（3分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．旭日东升D．夕阳西下
【解答】解：A．瓮中捉鳖，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【解答】解：∵⊙O的半径是2cm，
∴⊙O中最长的弦长直径＝2×2＝4（cm）．
故选：D．
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝6，则线段AB的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝4，
故选：C．
4．（3分）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，
故选：C．
5．（3分）如果将抛物线y＝3x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，那么得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3x2+x+2B．y＝3x2﹣x+2
C．y＝3x2﹣6x+5D．y＝3x2+6x+5
【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移1个单位，同时向上平移2个单位，得到的图象是y＝3（x+1）2+2，即y＝3x2+6x+5，
故选：D．
6．（3分）下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．
②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧．
③能够完全重合的两条圆弧是等弧．
④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意；
②平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，本选项不符合题意；
③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意；
④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，△ADF是⊙O的内接正三角形，四边形ACEG是⊙O的内接正方形，六边形ABDEFH是⊙O的内接正六边形，设上述正三角形周长为C1、正方形周长为C2、正六边形周长为C3，则C1：C2：C3为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
如图1所示，
在正三角形ADF中，连接OD，过O作OM⊥DF于M，
则∠ODF＝30°，DM＝OD•cs30°＝r，
故DF＝2DM＝r；
∴正三角形周长C1为3r；
如图2所示，
在正方形ACEG中，连接OE、OC，过O作ON⊥CE于N，
则△OCE是等腰直角三角形，
2CN2＝OC2，即CN＝r，
故CE＝r；
∴正方形周长C2为4r；
如图3所示，
在六边形ABDEFH中，连接OA、OB，过O作OP⊥AB于P，则△OAB是等边三角形，
故AP＝OA•cs60°＝r，
∴AB＝2AP＝r，
∴正六边形周长C3为6r，
∴C1：C2：C3为3r：4r：6r＝3：4：6．
故选：D．
8．（3分）设二次函数y＝a（x﹣n）（x﹣n﹣m）（a＜0，n，m是实数），则（ ）
A．当m＝2时，函数y的最大值为﹣a
B．当m＝2时，函数y的最大值为﹣2a
C．当m＝4时，函数y的最大值为﹣a
D．当m＝4时，函数y的最大值为﹣2a
【解答】解：当m＝2时，
二次函数解析式为y＝a（x﹣n）（x﹣n﹣2），
则抛物线的对称轴为直线x＝．
因为a＜0，
所以当x＝n+1时，
函数y有最大值为：a（n+1﹣n）（n+1﹣n﹣2）＝﹣a．
当m＝4时，
二次函数解析式为y＝a（x﹣n）（x﹣n﹣4），
则抛物线的对称轴为直线x＝．
因为a＜0，
所以当x＝n+2时，
函数y有最大值为：a（n+2﹣n）（n+2﹣n﹣4）＝﹣4a．
故选：A．
9．（3分）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则＝（ ）
A．1：3B．C．1：2D．4：9
【解答】解：设CD＝a，
∵四边形CDEF为菱形，
∴CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，
∵△OBC和△OBA为直角三角形，且∠OBC＝∠A＝90°，
∴∠OED＝∠OBC＝90°，
在Rt△ODE中，∠BOC＝30°，
∴OD＝2DE＝2a，
由勾股定理得：OE＝＝a，
∴OC＝OD+CD＝2a+a＝3a，
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OC＝3a，
∴BC＝a，
由勾股定理得：OB＝＝a，
∴EB＝OB﹣OE＝＝，
∵EH⊥AB，∠A＝90°，
∴EH∥OA，
∴△BEH∽△BOA，
∴＝＝＝．
故选：A．
10．（3分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2）
B．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2
C．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）
D．当x1＝2x2时，d（x1）＝2 d（x2）
【解答】解：A、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意．
B、当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2或x1＜x2，本选项不符合题意．
A、当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2），正确，本选项符合题意．
D、当x1＝2x2时，d（x1）＜2 d（x2）本选项不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是，
故答案为：．
12．（4分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的对称轴是直线 x＝2 ．
【解答】解：由题知，
二次函数y＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝．
故答案为：x＝2．
13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为 ．（结果保留根号）
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝2，
∴，
故答案为：．
14．（4分）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 3 ，感受这种特殊化的学习过程．
【解答】解：当＝3时，＝，理由如下：
∵＝3，
∴a＝3c，
∴，
∴b＝c，
∴，＝，
∴．
故答案为：3．
15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 15° ．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AKD＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAO＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
16．（4分）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB⊥CH，AB＝6，AD＝5，CH＝4，P边AB一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′．
①如图1，若点C′落在射线CA上时，则BP＝ ．
②若Rt△C′AD′是以∠C′AD′为直角时，则BP＝ 4+或4﹣ ．
【解答】解：①在▱ABCD中，AB⊥CH，AB＝6，AD＝5，CH＝4，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH＝＝＝3，
如图，过点C作CH⊥BA于点H，过C'作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q，
则∠CHP＝∠PQC'＝90°，
∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，
∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，
∴∠PC'Q＝∠CPH，
由旋转的性质得：PC'＝PC，
∴△PQC′≌△CHP（AAS），
∴PQ＝CH＝4，
设BP＝x，则PA＝6﹣x，C′Q＝PH＝3﹣x，AQ＝PQ﹣PA＝4﹣（6﹣x）＝x﹣2，
∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，
∴C′Q∥CH，
∴△AQC′∽△AHC，
∴，
即，
解得：x＝，
∴BP＝，
即BP的长为；
故答案为：
②∵点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′、D'，
∴△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'，CD⊥CD'，
∵AB∥CD，
∴C'D'⊥AB，
当以A为直角顶点时，如图，
设C'D'与射线BA的交点为T，过C作CH⊥AB于点H．
∵PC⊥PC'，
∴∠CPH+∠TPC'＝90°，
∵点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，
∴∠CPD＝∠C'PD'＝90°，PC＝PD，PC'＝PD'，
∴∠CPD＝∠C'PD'，
∴△PCD≌△PC'D'（SAS），
∴∠PCD＝∠PC'D'，
∵AB∥CD，
∴∠BPC＝∠PCD＝∠PC'D'，
∵∠C'PT+∠CPB＝90°，
∴∠C'PT+∠PC'T＝90°，
∴∠PTC'＝90°＝∠CHP，
∴△CPH≌△PC′T（AAS），
∴C′T＝PH，PT＝CH＝4．
设C′T＝PH＝t，则AP＝3﹣t，
∴AT＝PT﹣PA＝1+t，
∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，
∴△ATD′∽△C′TA，
∴，
∴AT2＝C'T•TD'，
∴（1+t）2＝t（6﹣t），
解得：t＝1±，
∴BP＝BH+HP＝4±，
∴BP的长为4+或4﹣．
故答案为：4+或4﹣．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分）
17．（6分）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，求DE的长．
【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
∴AB：ED＝AC：EC＝2：3，
∴2DE＝18，
∴DE＝9．
故DE的长为9．
18．（6分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，﹣4）和B（0，﹣4）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣1时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣4．
因为y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5）．
（2）将y＝﹣1代入函数解析式得，
x2+2x﹣4＝﹣1，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
如图所示，
当﹣3≤x≤1时，抛物线在直线y＝﹣1的下方，即y≤﹣1，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若点E是弧AB中点，求AE的长．
（2）若∠BAC＝50°，求弧DE的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，OD，
∵AB为直径，点E是弧AB中点，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵OA＝OE＝3cm，
∴AE＝＝3（cm）；
（2）∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∴弧DE的长＝＝π（cm）．
20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ 18 ，n＝ 6 ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 72 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，
故答案为：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，EB＝CF＝1．
（1）求证：△ABF∽△HFE．
（2）若，设AB＝x，FH＝y，求y关于x函数表达式．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，AB⊥BC，AB＝DC，
∵FH⊥EF，
∴DC∥EF，
∴△HFE∽△DCE，
∴，
∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
∴，
∵∠ABF＝∠HFE＝90°，
∴△ABF∽△HFE；
（2）解：由（1）知BF＝CE，
∵，AB＝x＝CD，
∴BF＝3x＝CE，
∴EF＝3x+1，
∵△HFE∽△DCE，
∴，即，
∴y＝x+．
22．（10分）根据背景素材，探索解决问题．
【解答】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+；
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+，
当y＝时，﹣x2+x+＝，解得x＝或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），
∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），
∴OE＝6，
∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：＝π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD′于H，
由题意得OD＝OD′＝8米，∠DOD′＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD′＝8米，OH⊥DD′，
∴DH＝D′H＝DD′，∠DOH＝∠DOD′＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OH＝OD＝4米，DH＝OH＝4米，
∴DD′＝2DH＝8米．
23．（10分）已知二次函数的顶点在y2＝kx+m上．
（1）试说明该二次函数y1的图象与x轴必有两个交点；
（2）求k的值；
（3）当y＝y1+y2的图象经过P（﹣1，p），Q（4，q）两个点．求证：p+q≥8．
【解答】（1）证明：令y1＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝0，
解得：x＝m或m+2，
即图象与x轴必有两个交点；
（2）解：由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（m+1，﹣1），
将顶点坐标代入一次函数表达式得：﹣1＝k（m+1）+m，
解得：k＝﹣1；
（3）证明：由（2）知，一次函数表达式为：y2＝﹣（m+1），
则y＝y1+y2＝x2﹣（2m+2）x+m2+m﹣1，
将点P、Q的坐标代入上式得：P+q＝（﹣1）2+（2m+2）x+m2+m﹣1+42﹣4（2m+2）+m2+m﹣1＝2（m﹣1）2+8≥8．
24．（12分）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC的外心，作△ABC外接圆⊙O，延长BO，交AC于点D．
（1）若△BCD与△ABC相似，求∠ACB度数；
（2）连OA，求证：AD2＝OD•BD；
（3）如图2，在BO的延长线上取点E，连接AE，若AE为⊙O切线，AD＝2，CD＝3，cs∠ABC＝ ．
【解答】（1）解：如图1，
连接OA，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴OA是BC的垂直平分线，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠AOD＝∠BAO+∠ABO＝2∠BAO，
设∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝α，
∴∠AOD＝2α，
∴∠BDC＝∠BAD+ABO＝3α，
∵∠C＝∠C，∠BDC＜∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠ABC＝∠BDC＝3α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝3α，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°得，
2α+3α+3α＝180°，
∴α＝22.5°，
∴∠ACB＝3α＝67.5°；
（2）证明：如图1，
由（1）得，∠CAO＝∠BAO＝∠ABO，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
∴，
∴AD2＝OD•BD；
（3）解：如图2，
延长AO，交BC于G，
由（1）知：AG⊥BC，
由（2）得：△ADO∽△BDA，
∴＝，
∵AB＝AC＝AD+CD＝5，
∴，
∴OA＝OB＝，
设OG＝x，
由BG2＝OB2﹣OG2＝AB2﹣AG2得，
∴（）2﹣x2＝52﹣（x+）2，
∴x＝，
∴BG2＝（）2﹣（）2，
∴BG＝，
∴cs∠ABC＝＝，
故答案为：．生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材
数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．

甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1
获取数据
丁小组测量得喷头的高OA＝米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题
求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2
获取数据
丁小组测树叶F距水平地面最低高度EF＝米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题
求OE的长．
任务3
推理计算
丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求：
①这个喷头最多可洒水多少平方米？
②在①条件下，此时DD′的长．
生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材
数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．

甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1
获取数据
丁小组测量得喷头的高OA＝米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题
求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2
获取数据
丁小组测树叶F距水平地面最低高度EF＝米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题
求OE的长．
任务3
推理计算
丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求：
①这个喷头最多可洒水多少平方米？
②在①条件下，此时DD′的长．