浙江省杭州市上城区采荷实验中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区采荷实验中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）抛物线的对称轴是
A．直线B．直线C．直线D．直线
2．（3分）已知圆的半径是5，点在圆内，则的长可能是
A．4B．5C．5.5D．6
3．（3分）用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
4．（3分）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为
A．B．C．D．
5．（3分）如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）下列四个函数中，当时，的值随着值的增大而增大的是
A．B．
C．D．
7．（3分）某校安排三辆车，组织九年级学生外出参加研学活动，其中小王和小飞都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小飞同车的概率为
A．B．C．D．
8．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则
A．B．C．D．
10．（3分）将函数，是常数，的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，，．则
A．，B．，
C．，D．，
二、填空题（共6题，每小题4分）
11．（4分）若，则 ．
12．（4分）若抛物线的顶点在轴上，则的值是 ．
13．（4分）如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为 ．
14．（4分）如图，在正五边形中，连结，，，交于点，则 ．
15．（4分）二次函数和其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
16．（4分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
三、解答题
17．（6分）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将绕点顺时针方向旋转得到△（点对应点，画出△．
（2）请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心的位置．
18．（6分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
19．（6分）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点为圆心，为直径，点，，，是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出边上的中线．
（2）在图2中作的角平分线．
20．（6分）如图，已知一次函数与二次函数的图象交于、两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
21．（8分）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，若，判断，，满足什么数量关系，并说明理由．
22．（10分）如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，．
（1）求证：；
（2）若为的中点，且半径，求阴影部分面积．
23．（12分）已知二次函数，其中．
（1）若二次函数的图象经过，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为5，求点和点的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点，，，，当时，总有，求的取值范围．
24．（12分）
2023-2024学年浙江省杭州市上城区采荷实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每小题3分）
1．（3分）抛物线的对称轴是
A．直线B．直线C．直线D．直线
【分析】根据抛物线对称轴为直线求解．
【解答】解：，
抛物线对称轴为直线，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（3分）已知圆的半径是5，点在圆内，则的长可能是
A．4B．5C．5.5D．6
【分析】根据点与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：圆的半径是5，点在圆内，
．
故选：．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内是解题的关键．
3．（3分）用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
4．（3分）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由，利用平行线分析线段成比例定理，可得出，再结合各边的长度，即可得出的值．
【解答】解：，
，
又，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5．（3分）如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数．
【解答】解：连接，如图，
是圆的直径，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
6．（3分）下列四个函数中，当时，的值随着值的增大而增大的是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．
【解答】解：．在二次函数中，，
开口向上，对称轴为直线，
当时，的值随着值的增大而增大，故本选项符合题意；
．在反比例函数中，，
它的图象在第一象限，随的增大而减小，在第三象限，随的增大而减小，故本选项不符合题意；
．在一次函数中，，
当时，的值随着值的增大而减小，故本选项不符合题意；
．，
在二次函数中，，
开口向下，对称轴为直线，
当时，的值随着值的增大而增大，当时，的值随着值的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质．掌握二次函数、一次函数、正比例函数的增减性与和的关系是解决问题的关键．
7．（3分）某校安排三辆车，组织九年级学生外出参加研学活动，其中小王和小飞都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小飞同车的概率为
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小王与小飞同车的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将三辆车分别记为，，，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小王与小飞同车的结果有3种，
小王与小飞同车的概率为．
故选：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：为的黄金分割点，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9．（3分）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则
A．B．C．D．
【分析】先设出未知数，再用已知条件表示出的各个角，最后，依据三角形内角和公式列方程解决．
【解答】解：如图，连接，设．
与相似，
，
，
，
又，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，用一个角表示出其他角后正确列出方程，是解题的关键．
10．（3分）将函数，是常数，的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，，．则
A．，B．，
C．，D．，
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：如图，由于抛物线开口向上，再向上平移，抛物线与 轴两个交点的距离逐渐缩小，即，而对称轴不变，
即，
也就是，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象的对称性以及与轴交点的坐标是正确判断的前提．
二、填空题（共6题，每小题4分）
11．（4分）若，则 ．
【分析】根据分比定理【分比定理：如果，那么 、】解答．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质．解答该题时，利用了分比定理：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理．
12．（4分）若抛物线的顶点在轴上，则的值是 ．
【分析】根据抛物线的顶点在轴上，得代入求出即可．
【解答】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到，解此题的关键．
13．（4分）如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为 50 ．
【分析】首先构造直角三角形，再利用垂径定理得出答案．
【解答】解：如图所示：连接，过点作交于点，
在中，
，
即，
解得：，
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出半径的长是解题关键．
14．（4分）如图，在正五边形中，连结，，，交于点，则 ．
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，然后利用三角形的内角和及等边对等角求得，的度数，再利用三角形的外角性质即可求得答案．
【解答】解：五边形是正五边形，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等腰三角形的性质及三角形的外角性质，结合已知条件求得，的度数是解题的关键．
15．（4分）二次函数和其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知： 0 ， ．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得和的值．
【解答】解：由表格可知，和时的函数值相等，
两个函数对称轴都是直线，
，，
，，
故答案为：0，6．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（4分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
圆心就是三角形的内心，
当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，
，
，
，，，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
即，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
三、解答题
17．（6分）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将绕点顺时针方向旋转得到△（点对应点，画出△．
（2）请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心的位置．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接，利用网格，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为过，，三点的圆的圆心．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，点即为所求．
【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
18．（6分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
【分析】（1）根据简单概率计算公式即可获得答案；
（2）根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
（2）根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
【点评】本题主要考查了根据概率公式计算概率以及列举法求概率，根据题意画出相应的树状图是解题关键．
19．（6分）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点为圆心，为直径，点，，，是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出边上的中线．
（2）在图2中作的角平分线．
【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可；
（2）连接交于点，连接即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求；
（2）如图2中，线段即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的中线，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题．
20．（6分）如图，已知一次函数与二次函数的图象交于、两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）将点、代入，求解即可；
（2）由图象可得，时，．
【解答】解：（1）将点、代入，
，，
；
（2）由图象可得，时，．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组，二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
21．（8分）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，若，判断，，满足什么数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理可得，，再根据进一步求解即可；
（2）由（1）的证明可知，再根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补可得，，根据，即可确定，，满足的数量关系．
【解答】解：（1），，
，，
；
（2）当时，，理由如下：
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（10分）如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，．
（1）求证：；
（2）若为的中点，且半径，求阴影部分面积．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）连接，，过点作于点，利用垂直平分线的性质，圆的有关性质和等边三角形的判定与性质得到为等边三角形，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再利用阴影部分面积解答即可．
【解答】（1）证明：为的直径，
，
．
，
，
．
点在上且平分弧，
，
，
，
；
（2）解：连接，，如图，
，为的中点，
为的垂直平分线，
，
，
，
即为等边三角形，
．
，
，
．
．
过点作于点，则，
．
阴影部分面积
．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关计算，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
23．（12分）已知二次函数，其中．
（1）若二次函数的图象经过，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为5，求点和点的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点，，，，当时，总有，求的取值范围．
【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可；
（2）根据抛物线开口向下得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论的取值范围．
【解答】解：（1）把代入函数解析式得，，
，
函数解析式为：；
（2）抛物线开口方向向下，
，
，
抛物线对称轴为直线，顶点为，即最高点，
点的纵坐标为5，
，
解得，
，，
，
最低点的横坐标为2，此时，
；
（3）①当时，
则有当时，随增大而减小，
当时，随增大而增大，
当时，总有，
此时，
，
②当时，
则有当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
当时，总有，
此时，
综上，当时；当时，．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【解答】解：（1）如图，以为原点，建立如图所示的坐标系，
由题意，可知则点坐标，点坐标，
故答案为：4，3.4，6，3.4；
，，
可设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为：；
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，
设改造后抛物线解析式为：，
将代入解析式，
得，
解得，
，
当时，，
’ ，
为，为，
，
答：的长度为；
（3）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
的坐标为，的坐标为，
，
由题意可列不等式，，
解得，
，
要使最大，需最小，
当时，的值最大，为1.6米．
答：的值最大值为1.6米．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/22 0:07:04；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：260253032
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1
我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．

素材2
已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．

问题解决
任务1
确定大棚形状
（1）在图2中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 ， ，点坐标 ， ，并求抛物线的函数表达式．
任务2
尝试改造方案
（2）当米，求的长度．
任务3
拟定最优方案
（3）只考虑经费情况下，求出的最大值．
2
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1
我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．

素材2
已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．

问题解决
任务1
确定大棚形状
（1）在图2中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 4 ， ，点坐标 ， ，并求抛物线的函数表达式．
任务2
尝试改造方案
（2）当米，求的长度．
任务3
拟定最优方案
（3）只考虑经费情况下，求出的最大值．