浙江省杭州市下城区观成实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市下城区观成实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边可能是（ ）
A.1B.3C.6D.10
2.不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A.B.
C.D.
3.若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为（ ）
A.40°B.100°C.80°D.70°
4.如图，在中，，，，则（ ）
A.65°B.55°C.45°D.35°
5.以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6.下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
7.通过如下尺规作图，能得到的是（ ）
A.B.
C.D.
8.在数学“”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分超过95分，则他至少答对了（ ）题.
A.15B.16C.17D.18
9.如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（ ）米.
A.4.8B.6C.5.6D.8
10.若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______.
12.如图所示，AD平分，，，，，则DE的长度是______.
13.用“>”或“<”填空：若，则______，______.
14.“见影排形”挑战赛中，小武摆出了如图的图形，在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则______，正方形b的面积是______.
15.如图，在矩形ABCD中，，E是线段CD上的一点，把沿着直线AE折叠，点D恰好落在线段AC上，且与点F重合，若，则CE的长为______.
16.如图，在中，，，F为AE的中点，C为BF延长线上一点，D为EB延长线上一点，且.则______，四边形CADB的面积是______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题8分）
解下列不等式（组）：
（1）；
（2）.
18. （本小题6分）
如图，在所给网格图（每小格均是边长为1的正方形）中完成下面各题：
（1）作关于直线DE对称的图形；
（2）求的面积.
19. （本小题8分）
如图，和中，，，；
（1）试说明.
（2）若，，求的度数.
20. （本小题10分）
如图，在中，AD是BC边上的高线，CF是AB边上的中线，，连结.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求BD的长.
21. （本小题10分）
小观与爸妈在公园里荡秋千.如图，小观坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直.小观两脚在地面上用力一蹬，当秋千距离地面高度为0.8m时，妈妈在B处接住她并用力一推，结果爸爸在C处接住了小观.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，.
（1）证明：.
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小观的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是______m.
22. （本小题12分）
双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）.请解答下列问题：
（1）甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？
（2）已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？
23. （本小题12分）
在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）.
（1）如图1，若是直角三角形，
①当时，求AD的长；
②当时，求CD的长.
（2）如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且.当是等腰三角形时，则______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设第三边长是x，
∴，∴，
∴第三边可能是3.
故选：B.
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长是x，得到，即可得到答案.
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.
2.【答案】A
【解析】解：不等式，
解得：.
表示在数轴上为：
故选：A.
求出不等式解集，表示在数轴上即可.
3.【答案】B
【解析】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为底角是40°，
所以其顶角为180°-40°-40°=100°.
故选B
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数.
4.【答案】D
【解析】解：如图，
∵，∴，
∵，∴，，
∴.
故选：D.
利用等角的余角相等证明即可.
5.【答案】B
【解析】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意，
故选：B.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
6.【答案】C
【解析】解：①同位角相等，逆命题是相等的角是同位角，是假命题；
②三条边相等的三角形是等边三角形，逆命题是等边三角形三条边相等，是真命题；
③若，则，逆命题是若，则，是真命题；
故选：C.
先根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，再根据同位角、等边三角形的性质、实数的乘方判断即可.
7.【答案】C
【解析】解：当点D在线段AB的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段AB垂直平分线的是C中的图形.
故选：C.
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断.
8.【答案】C
【解析】解：设小观答对了x道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最小值为17，
∴他至少答对了17道题.
故选：C.
设小观答对了道题，则答错或不答道题，利用得分=6×答对题目数-2×答错或不答题目数，结合小观得分超过95分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论.
9.【答案】B
【解析】解：两棵树的高度差为，间距为4.8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离，
故选：B.
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
10.【答案】B
【解析】解：解不等式得，，
∵不等式组有解，
∴.
故选：B.
求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可.
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围.熟练掌握不等式组的解集的确定方法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键.
11.【答案】
【解析】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为，
故答案为：.
根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来.
12.【答案】2
【解析】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵平分，，∴，
故答案为：2.
根据线段的和差求出，再根据角平分线性质定理求解即可.
13.【答案】<，>
【解析】解：∵，∴，，
∴.
故答案为：<，>.
根据不等式的性质解答.
14.【答案】425
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，∴，
∴正方形b的面积为25.
故答案为：4，25.
证明，推出，可得结论.
15.【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵把沿着直线AE折叠，点D恰好落在线段AC上，且与点F重合，，
∴，，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，，
∴，
故答案为：.
根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，得到，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论.
16.【答案】30°，
【解析】解：过A作，交ED延长线于.
∵，，
∴，.
∵，F为AE的中点，
∴为AE的垂直平分线，
∴.
∵，∴，
∴设，
∴
∵，
∴，
∴.
∵，，，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴面积面积，
∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴四边形CADB的面积
面积+四边形AFBD的面积
面积+四边形AFBD的面积
=四边形AFBM的面积
面积面积
.
故答案为：30°，
过A作，由，，得，由，F为AE的中点，得BC为AE的垂直平分线，设，换算得.由，换算出，故为等边三角形，证明，得它们面积相等.故四边形CADB的面积=四边形AFBM的面积面积面积，再计算即可.
17.【答案】解：（1）∵，∴，，则；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为.
【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
18.【答案】解：（1）如图，
分别作出点A，B，C关于DE的对称点，，，连接，，，
则就是求作的图形；
（2）.
【解析】（1）分别作出点A，B，C关于DE的对称点，，，连接，，；
（2）过A，B，C三点围成的矩形的面积减去三个三角形的面积.
19.【答案】解：（1）∵，∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，∴.
∴为80°.
【解析】（1）由，可得，根据SSS解可证明；
（2）根据，对应角相等即可得，再由三角形内角和定理可得答案.
20.【答案】（1）证明：∵是BC边上的高线，
∴，
∴是直角三角形，
∵是AB边上的中线，∴，∴，
∵，∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点F作于F，
∵，，
∴，，∴，
∵于F，，
∴，∴，∴.
【解析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再利用等量代换可证是等腰三角形；
（2）过点F作于F，根据等腰三角形的性质得，，由三角形外角的性质得，可得，即可求解.
21.【答案】0.4
【解析】（1）证明：由题意可知，，
∵，
∴.
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵、CE分别为1.2m和1.6m，
∴，，
∴，
，
∵妈妈在距地面0.8m高的B处，即，
∴
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.4m.
故答案为：0.4.
（1）由直角三角形的性质得出，根据AAS可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，，求出DE的长则可得出答案；
（3）因为，由勾股定理求得OB，再根据便可求得结果.
22.【答案】解：（1）设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，
根据题意得：，
解得：.
答：甲种书包每个的售价是30元，乙种书包每个的售价是24元；
（2）设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，∴可以为53，54，55，
∴该网店共有3种进货方案，
方案1：购进53个甲种书包，47个乙种书包；
方案2：购进54个甲种书包，46个乙种书包；
方案3：购进55个甲种书包，45个乙种书包；
（3）采用方案1获得的总利润为；（30-25）×53+（24-20）×47=453（元）；
采用方案2获得的总利润为（30-25）×54+（24-20）×46=454（元）；
采用方案3获得的总利润为（30-25）×55+（24-20）×45=455（元）.
∵453<454<455，
∴在（2）的条件下，采用方案3获利最多，利润最多是455元.
【解析】（1）设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，根据“甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包，根据“该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润=每个甲种书包的销售利润×购进甲种书包的数量+每个乙种书包的销售利润×购进乙种书包的数量，可求出采用各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论.
23.【答案】3或
【解析】解：（1）①当时，如图1.1，
∵，，∴，
则在直角三角形ABD中，；
②如图1.2，当时，作于点E，则由①知：，，
设，则，
则在直角三角形ADE中，，
在直角三角形ACD中，，
即，
解得：，
∴；
（2）∵，
若是等腰三角形，则或，
若，则，如图2，
∵，，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，∴；
若，如图3，作于点H，
则，，
∴，∴，，
∴或，
故答案为：3或.
（1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答；
②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答；
（2）由题意知，若是等腰三角形，则或，分别解决问题.