浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4
C．x2+y＝0D．x2﹣2x+1＝0
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
4．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a＝0，b≠0
6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）下图入口处进入，最后到达的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75%B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75%D．（1﹣x）2＝75%
9．（3分）如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形ABCDE（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法：
（小观）连结BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求；
（小成）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（ ）
A．两人都正确B．两人都错误
C．小观正确，小成错误D．小观错误，小成正确
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF，连结BE．若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝（ ）
A．4B．3C．2.5D．2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，已知▱ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为 ．
13．（4分）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 ．
14．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有一个根是3，则另外一个根是 ．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，，∠B＝120°，将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），连接A′B′，A′D，B′D．在平移过程中，
（1）若四边形A′B′CD是矩形，则AA′＝ ；
（2）A′D+B′D的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）计算下列各式：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x＝15．
（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5）．
19．（8分）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝4，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连结DE并延长至C，使得BC⊥AB．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若CD⊥BF，求DF长．
20．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
21．（10分）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积（即期影面积）为800m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？
22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4tx+3t2+2t﹣1＝0．
（1）当t＝3时，解这个方程；
（2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
（3）x1，x2是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且x1＝nx2，求n的值．
23．（12分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF；
（2）当AE＝2DG时，求AE的长；
（3）设AE＝a，DG＝b．求代数式（4﹣a）（4﹣b）的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+4
C．x2+y＝0D．x2﹣2x+1＝0
【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B．该方程中未知数的最高次数不是2次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝3，故A不符合题意；
B、＝＝，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝1800°，
∴n＝12．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝CD＝2，
故选：A．
5．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a＝0，b≠0
【解答】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB，
∴＝，
故选：D．
7．（3分）下图入口处进入，最后到达的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
∴最后到达的是丁
故选：D．
8．（3分）某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A．2（1﹣x）＝75%B．1﹣2x＝75%
C．1﹣x+（1﹣x）2＝75%D．（1﹣x）2＝75%
【解答】解：依题意，得：（1﹣x）2＝75%．
故选：D．
9．（3分）如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形ABCDE（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法：
（小观）连结BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求；
（小成）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（ ）
A．两人都正确B．两人都错误
C．小观正确，小成错误D．小观错误，小成正确
【解答】解：如图1，
∵正五边形的每个内角的度数是，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴＝36°，
同理∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABP＝∠AEP＝108°﹣36°＝72°，∠BPE＝360°﹣108°﹣72°﹣72°＝108°，
∴四边形ABPE是平行四边形，即小观正确；
如图2，
∵∠BAE＝108°，
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°，
∵AB＝AE＝AP，
∴＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，
∵∠BPE＝360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形APBE不是平行四边形，即小成错误．
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF，连结BE．若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝（ ）
A．4B．3C．2.5D．2
【解答】解：∵四边形ABCD，EFGH为正方形，
∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°．
∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴BF＝GC，
设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，
∵，
∴，
∴a2+ab＝b2．
∵BG2+GC2＝BC2，
∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为，
∴n＝3．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
12．（4分）如图，已知▱ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为 2.5 ．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为12，
∴AB+AD＝6，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多1，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝1，
∴AB＝2.5，AD＝3.5．
故答案为：2.5．
13．（4分）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 2m﹣2 ．
【解答】解：∵6，8，m为三角形的三边长，
∴8﹣6＜m＜8+6，
即2＜m＜14，
∴
＝|2﹣m|+m
＝m﹣2+m
＝2m﹣2．
故答案为：2m﹣2．
14．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有一个根是3，则另外一个根是 ﹣2 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝1，
令x1＝3，
则3+x2＝1，
解得：x2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵BE＝BC．AB＝2，
∴AE＝．
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF＝AE＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，，∠B＝120°，将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），连接A′B′，A′D，B′D．在平移过程中，
（1）若四边形A′B′CD是矩形，则AA′＝ 4 ；
（2）A′D+B′D的最小值为 12 ．
【解答】解：（1）连接BD交AC于点O，如图所示：
∵在菱形ABCD中，，∠B＝120°，
∴BD⊥AC，，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ABO中，，则，
∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），
∴∠B′A′C′＝∠BAC＝30°，
若四边形A′B′CD是矩形，则∠DA′B′＝90°，
∴∠DA′O＝60°，
在Rt△ADO中，，则，
∴AA′＝AO﹣A′O＝4，即
故答案为：4；
（2）连接A′B，延长AB到D′，使BD′＝AB，如图所示：
∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′（点A′在线段AC上），
∴AB∥A′B′，AB＝A′B′，
∴A′BD′B′是平行四边形，
∴A′B＝B′D′，
∵在菱形ABCD中，由菱形对称性得到A′B＝A′D，
∴A′D＝B′D′，
∴A′D+B′D＝B′D′+B′D，则当D′、B′、D三点共线时，A′D+B′D有最小值为DD′，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝BD′，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵由于∠ABD是△BDD′的一个外角，
∴∠BDB′＝∠D′＝30°，
∴∠ADD′＝90°，
在Rt△ADD′中，，∠D′＝30°，则，
∴A′D+B′D的最小值为12，
故答案为：12．
三、解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+
＝；
（2）原式＝1﹣2+3+2
＝4．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x＝15．
（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5）．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝15，
（x﹣5）（x+3）＝0，
即：x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
（2）（x﹣1）（x+5）＝﹣2（x+5），
（x﹣1）（x+5）+2（x+5）＝0，
（x﹣1+2）（x+5）＝0，
即：x+1＝0或x+5＝0，
∴x＝﹣1或x＝﹣5．
19．（8分）如图，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝4，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连结DE并延长至C，使得BC⊥AB．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若CD⊥BF，求DF长．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，
∴AF⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴AF∥BC，
∴∠CBE＝∠DFE，
∵点E为是边BF的中点，
∴BE＝FE，
又∵∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝FD，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形BDFC是平行四边形，
∴平行四边形BDFC是菱形，
∴BD＝DF，
设BD＝DF＝x，则AD＝AF﹣DF＝4﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即DF长为．
20．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH．
（2）解：AH⊥EF，理由如下．
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
21．（10分）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积（即期影面积）为800m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？
【解答】解：（1）道路的宽为x米，
由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800，
整理得：x2﹣40x+175＝0，
解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5，
答：道路的宽是5米；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，
由题意得：（200+y）（50﹣）＝10120，
整理得：y2﹣50y+600＝0，
解得：y1＝20，y2＝30，
∵尽可能让利于居民，
∴y＝20，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．
22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4tx+3t2+2t﹣1＝0．
（1）当t＝3时，解这个方程；
（2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
（3）x1，x2是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且x1＝nx2，求n的值．
【解答】解：（1）当t＝3时，原方程化为x2﹣12x+32＝0，
（x﹣8）（x﹣4）＝0，
x﹣8＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝8，x2＝4；
（2）方程有两个实数解．
理由如下：
Δ＝（﹣4t）2﹣4（3t2+2t﹣1）＝16t2﹣12t2﹣8t+4＝4t2﹣8t+4＝4（t﹣1）2，
当t＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；
当t≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数解；
综上所述，方程有两个实数解；
（3）解方程得x＝3t﹣1或x＝t+1，
∵x1＝nx2，
∴3t﹣1＝n（t+1）或t+1＝n（3t﹣1），
当3t﹣1＝n（t+1）时，n＝3﹣，
∵n、t为正整数，
∴当t+1＝2时，n＝1；当t+1＝4时，n＝2；
当t+1＝n（3t﹣1）时，n、t为正整数，不满足条件舍去，
综上所述，n得值为1或2．
23．（12分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF；
（2）当AE＝2DG时，求AE的长；
（3）设AE＝a，DG＝b．求代数式（4﹣a）（4﹣b）的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF；
（2）解：过G作GH⊥BC于H，如图：
设DG＝x，则AE＝2x，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF，
∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF＝AE＝2x，
∴FH＝CF﹣CH＝x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣3x）2，
解得x＝3+（此时AE大于AD，舍去）或x＝3﹣，
∴AE＝2x＝6﹣2；
∴AE的长为6﹣2；
（3）解：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：
∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，
∵GE＝GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，
∵∠GQO＝90°＝∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，
即GQ•EQ＝OQ2，
∴GQ•EQ＝4，
∵OA＝OD，OQ⊥AD，
∴AQ＝DQ＝AD＝4，
∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，
∴（4﹣a）（4﹣b）＝4．