2023-2024学年浙江省杭州市下城区观成实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市下城区观成实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 1x2+x−1=0B. 3x+1=5x+4C. x2+y=0D. x2−2x+1=0
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 18B. 3.2C. 5D. 56
3.一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC=8，则EF的长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
5.用反证法证明“若ab=0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设( )
A. a=0，b=0B. a≠0，b≠0C. a≠0，b=0D. a=0，b≠0
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，则ABBC=( )
A. 12
B. 3−12
C. 32
D. 33
7.下图入口处进入，最后到达的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则( )
A. 2(1−x)=75%B. 1−2x=75%
C. 1−x+(1−x)2=75%D. (1−x)2=75%
9.如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形ABCDE(每个内角相等，每条边相等)内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法：
(小观)连结BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求；
(小成)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于小观和小成的作法，以下判断正确的是( )
A. 两人都正确B. 两人都错误
C. 小观正确，小成错误D. 小观错误，小成正确
10.如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，垂足分别是F，G，H，E，∠ABF>∠BAF，连结BE.若GCGB=(FBEF)2，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n=( )
A. 4B. 3C. 2.5D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式 x+1有意义，则x的取值范围是 ．
12.如图，已知▱ABCD的周长是12，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多1，则AB的长为______．
13.若6，8，m为三角形的三边长，则化简 (2−m)2+m的结果为______．
14.如果关于x的方程x2−x+k=0(k为常数)有一个根是3，则另外一个根是______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.在边AD上取一点E，使BE=BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为______．
16.如图，在菱形ABCD中，AB=4 3，∠B=120°，将△ABC向右平移得到△A′B′C′(点A′在线段AC上)，连接A′B′，A′D，B′D.在平移过程中，
(1)若四边形A′B′CD是矩形，则AA′= ______；
(2)A′D+B′D的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算下列各式：
(1) 18− 8+ 16× 3；
(2)(1− 3)2+ 12．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x=15．
(2)(x−1)(x+5)=−2(x+5)．
19.(本小题8分)
如图，在△ABF中，∠A=90°，AB=2，AF=4，点E为是边BF的中点，点D是边AF上一点，连结DE并延长至C，使得BC⊥AB．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CD⊥BF，求DF长．
20.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
(1)求证：∠DAG=∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
21.(本小题10分)
东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=50m，AB=30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积(即期影面积)为800m2．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？
22.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−4tx+3t2+2t−1=0．
(1)当t=3时，解这个方程；
(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
(3)x1，x2是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且x1=nx2，求n的值．
23.(本小题12分)
如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0(1)求证：GE=GF；
(2)当AE=2DG时，求AE的长；
(3)设AE=a，DG=b.求代数式(4−a)(4−b)的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B.该方程中未知数的最高次数不是2次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 18=3 2，故A不符合题意；
B、 3.2= 165=4 55，故B不符合题意；
C、 5是最简二次根式，故C符合题意；
D、 56= 306，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：(n−2)×180°=1800°，
∴n=12．
故选：C．
由多边形内角和定理，即可求解．
本题考查多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)．
4.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴BD=DC=12BC=12×8=4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12CD=2，
故选：A．
根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：“若ab=0，则a，b中至少有一个为0.”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC= 3AB，
∴ABBC= 33，
故选：D．
先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO=60°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
∴最后到达的是丁
故选：D．
利用平行四边形的判定和菱形的判定可求解；
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练运用这些判定是本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：(1−x)2=75%．
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：如图1，
∵正五边形的每个内角的度数是(5−2)×180°5=108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE=12×(180°−108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°−36°=72°，∠BPE=360°−108°−72°−72°=108°，
∴四边形ABPE是平行四边形，即小观正确；
如图2，
∵∠BAE=108°，
∵∠BAE=108°，
∴∠BAM=∠EAM=54°，
∵AB=AE=AP，
∴∠ABP=∠APB=12×(180°−54°)=63°，∠AEP=∠APE=63°，
∵∠BPE=360°−108°−63°−63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形APBE不是平行四边形，即小成错误．
故选：C．
求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定，正多边形和圆，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD，EFGH为正方形，
∴AB=BC，∠AFB=∠CGB=90°，∠ABC=90°．
∴∠ABF+∠GBC=90°，∠GBC+∠GCB=90°，
∴∠ABF=∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
∠AFB=∠BGC∠ABF=∠BCGAB=BC，
∴△ABF≌△BCG(AAS)，
∴BF=GC，
设BF=GC=a，GF=b，则BG=a+b，EF=b，
∵GCGB=(FBEF)2，
∴aa+b=(ab)2，
∴a2+ab=b2．
∵BG2+GC2=BC2，
∴BC2=a2+(a+b)2=2a2+2ab+b2=3b2，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为EF2BC2=b23b2=13，
∴n=3．
故选：B．
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到BF=GC，设BF=GC=a，GF=b，则BG=a+b，EF=b，利用已知条件化简得到a2+ab=b2；利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再利用正方形的面积公式解答即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟练掌握上述性质是解题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】2.5
【解析】解：∵▱ABCD的周长为12，
∴AB+AD=6，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多1，
∴(OA+OD+AD)−(OA+OB+AB)=AD−AB=1，
∴AB=2.5，AD=3.5．
故答案为：2.5．
由▱ABCD的周长为12，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多1，可得AB+AD=6，AD−AB=1，求出AB的长．
此题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性求出AB是解决问题的关键．
13.【答案】2m−2
【解析】解：∵6，8，m为三角形的三边长，
∴8−6即2∴ (2−m)2+m
=|2−m|+m
=m−2+m
=2m−2．
故答案为：2m−2．
根据三角形三边关系确定m的取值范围，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法是正确解答的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：根据题意得x1+x2=−ba=1，
令x1=3，
则3+x2=1，
解得：x2=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件“方程x2−x+k=0的一个根是3”，一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=−ba求该方程的另一个根．
本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系可以求出方程的另一个根是解题关键．
15.【答案】 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=3，AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC，
∵BE=BC.AB=2，
∴AE= 5．
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠CFB∠AEB=∠FBCBE=BC，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，
∴BF=AE= 5．
故答案为： 5．
先根据勾股定理求出AE= 5，再结合矩形的性质证明△ABE≌△FCB得出AE=BF即可解答．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
16.【答案】4 12
【解析】解：(1)连接BD交AC于点O，如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=4 3，∠B=120°，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴∠BAO=30°，
在Rt△ABO中，BO=12AB=2 3，则AO= 3BO=6，
∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′(点A′在线段AC上)，
∴∠B′A′C′=∠BAC=30°，
若四边形A′B′CD是矩形，则∠DA′B′=90°，
∴∠DA′O=60°，
在Rt△ADO中，DO=BO=2 3，则A′O=OD 3=2，
∴AA′=AO−A′O=4，即
故答案为：4；
(2)连接A′B，延长AB到D′，使BD′=AB，如图所示：
∵将△ABC向右平移得到△A′B′C′(点A′在线段AC上)，
∴AB/​/A′B′，AB=A′B′，
∴A′BD′B′是平行四边形，
∴A′B=B′D′，
∵在菱形ABCD中，由菱形对称性得到A′B=A′D，
∴A′D=B′D′，
∴A′D+B′D=B′D′+B′D，则当D′、B′、D三点共线时，A′D+B′D有最小值为DD′，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=BD′，∠ABD=∠ADB=60°，
∵由于∠ABD是△BDD′的一个外角，
∴∠BDB′=∠D′=30°，
∴∠ADD′=90°，
在Rt△ADD′中，AD=AB=4 3，∠D′=30°，则DD′= 3AD=12，
∴A′D+B′D的最小值为12，
故答案为：12．
(1)连接BD交AC于点O，如图所示，由菱形性质，结合含30°直角三角形的三边关系即可得到AO及A′O长，从而得到AA′=AO−A′O=4；
(2)连接A′B，延长AB到D′，使BD′=AB，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到A′D+B′D=B′D′+B′D，从而确定当D′、B′、D三点共线时，A′D+B′D有最小值为DD′，由含30°直角三角形的三边关系求解即可得到答案．
本题考查特殊平行四边形背景下求线段长，涉及菱形的性质、矩形的性质、平移的性质、等边三角形的判定与性质、含30°直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握特殊平行四边形性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2+ 22
=3 22；
(2)原式=1−2 3+3+2 3
=4．
【解析】(1)先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先用完全平方公式展开，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)x2−2x=15，
(x−5)(x+3)=0，
即：x−5=0或x+3=0，
∴x=5或x=−3．
(2)(x−1)(x+5)=−2(x+5)，
(x−1)(x+5)+2(x+5)=0，
(x−1+2)(x+5)=0，
即：x+1=0或x+5=0，
∴x=−1或x=−5．
【解析】(1)先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果．
(2)先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答．
19.【答案】(1)证明：∵∠A=90°，
∴AF⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴AF/​/BC，
∴∠CBE=∠DFE，
∵点E为是边BF的中点，
∴BE=FE，
又∵∠BEC=∠FED，
∴△BCE≌△FDE(ASA)，
∴BC=FD，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形BDFC是平行四边形，
∴平行四边形BDFC是菱形，
∴BD=DF，
设BD=DF=x，则AD=AF−DF=4−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2=BD2，
即22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
即DF长为52．
【解析】(1)证明AF/​/BC，则∠CBE=∠DFE，再证明△BCE≌△FDE(ASA)，得BC=FD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)证明平行四边形BDFC是菱形，得BD=DF，设BD=DF=x，则AD=AF−DF=4−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证得四边形BDFC为菱形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE=∠GEC=90°，
∴AD/​/GE，
∴∠DAG=∠EGH．
(2)AH⊥EF，理由如下．
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=∠CDG=45°，
在△ADG和△CDG中，
DG=DG∠ADG=∠CDGAD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG=∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF=90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC，
由(1)得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AH⊥EF．
【解析】(1)直接由平行公理的推理即可解答．
(2)先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG(SAS)，从而得到∠DAG=∠DCG.再证明∠EGH=∠DCG=∠OEC即可．
本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
21.【答案】解：(1)道路的宽为x米，
由题意得：(50−2x)(30−2x)=800，
整理得：x2−40x+175=0，
解得：x1=35(不合题意，舍去)，x2=5，
答：道路的宽是5米；
(2)设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，
由题意得：(200+y)(50−y5)=10120，
整理得：y2−50y+600=0，
解得：y1=20，y2=30，
∵尽可能让利于居民，
∴y=20，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．
【解析】(1)道路的宽为x米，根据铺花砖的面积(即期影面积)为800m2，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
(2)设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，根据“该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当t=3时，原方程化为x2−12x+32=0，
(x−8)(x−4)=0，
x−8=0或x−4=0，
所以x1=8，x2=4；
(2)方程有两个实数解．
理由如下：
Δ=(−4t)2−4(3t2+2t−1)=16t2−12t2−8t+4=4t2−8t+4=4(t−1)2，
当t=1时，Δ=0，方程有两个相等的实数解；
当t≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数解；
综上所述，方程有两个实数解；
(3)解方程得x=3t−1或x=t+1，
∵x1=nx2，
∴3t−1=n(t+1)或t+1=n(3t−1)，
当3t−1=n(t+1)时，n=3−4t+1，
∵n、t为正整数，
∴当t+1=2时，n=1；当t+1=4时，n=2；
当t+1=n(3t−1)时，n、t为正整数，不满足条件舍去，
综上所述，n得值为1或2．
【解析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)先计算根的判别式的值得到Δ=4(t−1)2，利用根的判别式的意义，当t=1时，Δ=0，方程有两个相等的实数解；当t≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数解；
(3)先利用公式法解方程得x=3t−1或x=t+1，由于x1=nx2，所以3t−1=n(t+1)或t+1=n(3t−1)，当3t−1=n(t+1)，则n=3−4t+1，利用整除性得当t+1=2时，n=1；当t+1=4时，n=2；当t+1=n(3t−1)时，由于n、t为正整数，不满足条件舍去．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
(2)解：过G作GH⊥BC于H，如图：

设DG=x，则AE=2x，
∴GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，
∵∠GHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD=AB=4，CH=DG=x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF=AE=2x，
∴FH=CF−CH=x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2=GF2，
∴x2+42=(8−3x)2，
解得x=3+ 3(此时AE大于AD，舍去)或x=3− 3，
∴AE=2x=6−2 3；
∴AE的长为6−2 3；
(3)解：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：

∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°−∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴GQOQ=OQEQ，
即GQ⋅EQ=OQ2，
∴GQ⋅EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴AQ=DQ=12AD=4，
∴EQ=AQ−AE=4−a，GQ=DQ−GD=4−b，
∴(4−a)(4−b)=4．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠GEF=∠BFE，而四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，有∠BFE=∠GFE，故∠GEF=∠GFE，GE=GF；
(2)过G作GH⊥BC于H，设DG=x，可知AE=2x，GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，根据点O为矩形ABCD的对称中心，可得CF=AE=2x，故FH=CF−CH=x，在Rt△GFH中，x2+42=(8−3x)2，解得x的值从而可得AE的长为6−2 3；
(3)过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，由点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，可得O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，证明△GOQ∽△OEQ，得GQOQ=OQEQ，即GQ⋅EQ=OQ2，故GQ⋅EQ=4，即可得(4−a)(4−b)=4．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．