初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）第三章 整式及其加减同步练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）第三章 整式及其加减同步练习题，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共10小题，共30分）
1.（3分）一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了( )
A. 4B. 2aC. 2a+4D. 4a+4
2.（3分）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为2a的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件(如图所示).将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙，则下列大小关系正确的是( )注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．

A. S甲>S乙>S丙B. S甲>S丙>S乙
C. S丙>S乙>S甲D. S丙>S甲>S乙
3.（3分）下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. 3a2−a=3a
C. x2y−xy2=0D. 3m+2m=5m
4.（3分）若x−2y+3=0，则多项式−2x+4y−3的值为 ( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
5.（3分）下列计算正确的是( )
A. x+x2=x3B. x2⋅x3=x6
C. x9÷x3=x3D. (x3)2=x6
6.（3分）一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40粒.一只蟋蟀从第二个黑珠子开始起跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要( )次，才能又落在黑珠子上.
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.（3分）若m1，m2，…，m2024是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2024=1540，(m1−1)2+(m2−1)2+...+(m2024−1)2=1510，则在m1，m2，…，m2024中，取值为2的个数为( )
A. 513B. 514C. 515D. 516
8.（3分）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果a1，b1，c1，称为一次操作.下列说法：
①若a=1，b=2，c=3，则a1，b1，c1三个数中最大的数是4；
②若a=x2，b=2x，c=1，且a1，b1，c1中最小值为−7，则x=4；
③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果a1，b1，c1按上述方法再进行一次操作，得到三个结果a2，b2，c2，以此类推，第n次操作的结果是an，bn，cn，则an+bn+cn的值为定值.
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.（3分）一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x，且数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出两张扑克牌铪B同学：第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
10.（3分）已知(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是( )
A. 4B. 8C. 16D. 12
二 、填空题（本大题共6小题，共24分）
11.（4分）有两个数值转换机A、B，将数字x输入数值转换机A，则可得2x+17，如：输入数字3，则输出数字为1，输入数字−11，则输出数字为−3，将数字y输入数值转换机B，则可得不大于y的最大整数，如：输入3.14，则输出数字3，输入−1.414，则输出数字为−2，现将某整数m先输入数值转换机A，再将输出的数字输入到数值转换机B，发现从数值转换机B输出的数字为5，符合条件的整数m有 ______ 个.
12.（4分）如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm.若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则当x=2024时，y的值为 ______ .
13.（4分）如图，在△AP1B中，BP1⊥AP1，AP1=2，∠A=30°，且P1Q1⊥AB，Q1P2⊥AP1，P2Q2⊥AB，Q2P3⊥AP1，…，QnPn⊥AB，Pn+1Qn⊥AP1，则P2024Q2024的值为 ______ .
14.（4分）如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字，那么该“中”字的面积是__________(用含a的代数式表示).
15.（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母__________的位置，标注字母e的卡片写有数字__________.
16.（4分）若单项式2xny3与−13x2ym的和是单项式，则m+n=__________.
三 、解答题（本大题共7小题，共66分）
17.（8分）已知a−b=3，求3(a−b)+4a−4b+18的值．
18.（8分）先化简，再求值：−2(x2+3x)−3(2x−1)+3x2，其中x=−2.
19.（8分）已知m2−2mn−3=0，求代数式(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2的值．
20.（10分）阅读材料：在合并同类项中，5a−3a+a=(5−3+1)a=3a，类似地，我们把(x+y)看成一个整体，则5(x+y)−3(x+y)+(x+y)=(5−3+1)(x+y)=3(x+y).“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把(x−y)2看成一个整体，合并3(x−y)2−6(x−y)2+2(x−y)2的结果是．
(2)已知a2−2b=1，求3−2a2+4b的值；
21.（10分）我们把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”第n个“三角形数”可表示为：1+2+3+⋯+n=n(n+1)2.
淇淇发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律，例如：1+3=4；3+6=9；6+10=16；……
(1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为 ______ ；
(2)根据淇淇的发现，第n个“三角形数”与第(n+1)个“三角形数”的和可用下面等式表示： ______ +______ =______ ，请补全上述等式并说明它的正确性.
22.（10分）观察下列各式：
13=1=14×12×22；
13+23=9=14×22×32；
13+23+33=36=14×32×42；
13+23+33+43=100=14×42×52；
….
回答下面的问题：
(1)猜想13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=______ ；
(2)利用你得到的 (1)中的结论，计算13+23+33+⋯+993+1003的值；
23.（12分）【问题提出】：
2024欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛24支参赛球队分成6个小组，小组赛每小组4支球队进行单循环比赛，(任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛)，则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？
【构建模型】
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上)，每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，实际只有5×42=10条线段.
(1)若某次比赛有6支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排 ______ 场比赛；
(2)根据以上规律，若有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排 ______ 场比赛.
【实际应用】
(3)2024年欧洲杯足球赛，总计需要安排 ______ 场小组赛.
(4)雨舟铁路预计2028年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站(每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称)，那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为 ______ 种.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：根据题意，得(a+2)2−a2=4a+4.
故选：D.
一个正方形的边长是a，若边长增加2，则边长变为(a+2)，根据正方形的面积公式和作差法求得答案．
此题主要考查了列代数式．解答该题的关键是掌握正方形的面积公式．
2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了整式的加减的应用，分别求出S甲、S乙、S丙，进行比较即可得出答案，根据图形求出S甲、S乙、S丙是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：
S甲=6×2a×2a+2×a×a=26a2，
S乙=6×2a×2a=24a2，
S丙=6×2a×2a+4×a×a=28a2，
∵28a2>26a2>24a2，
∴S丙>S甲>S乙，
故选：D.
3.【答案】D;
【解析】
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.根据合并同类项运算法则进行判断即可
【详解】解：A.2a与3b不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B.3a2与a不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C.x2y与xy2不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D.3m+2m=5m计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确理解合并同类项法则是解答本题的关键
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了整体法计算代数式的值，变形x−2y=−3,−2x+4y=6整体代入计算即可．
【详解】∵x−2y+3=0，
∴x−2y=−3，
∴−2x+4y=6，
∴−2x+4y−3
=6−3=3.
故选D.
5.【答案】D;
【解析】
根据合并同类项法则及幂运算等相关知识进行计算即可得解．
【详解】选项A，x与x2不是同类项，不可以合并，A选项错误；
选项B，x2·x3=x2+3=x5，B选项错误；
选项C，x9÷x3=x9−3=x6，C选项错误；
选项D，(x3)2=x2×3=x6，D选项正确，
故选D.
【点睛】此题主要考查了合并同类项法则及幂运算的相关内容，熟练掌握幂运算的四种运算方法以及合并同类项的相关知识是解决本题的关键．
6.【答案】A;
【解析】解：观察可知，每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，
将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3…，39.其中0，9，10，19，20，29，30，39的8个珠子是黑色．
蟋蟀跳过的珠子号码依次是0，7，14，21，28，35，42，49…，即7的倍数；
周期应是40，49−40=9，就相当于一圈后落在“9”号黑珠子上；
即这只蟋蟀至少要7次，才能又落在黑珠子上；
故选：A.
蟋蟀每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3…，39.其中0，9，10，19，20，29，30，39的8个珠子是黑色；蟋蟀跳过的珠子号码依次是0，7，14，21，28，35，42，49…，因为周期是40，再根据周期性的知识解决即可．
此题主要考查了规律型：数字的变化类，解答本题的关键是理解这只蟋蟀跳跃的规律，难点是得出跳过的珠子数与循环周期之间的关系．
7.【答案】A;
【解析】解：∵(m1−1)2+(m2−1)2+…+(m2024−1)2=1510，
m1，m2，…，m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2024中为1的个数是2024−1510=514，
∵m1+m2+…+m2024=1540，
∴2的个数为(1540−514)÷2=513.
故选：A.
通过m1，m2，…m2024是从0，1，2这三个数中取值的一列数，(m1−1)2+(m2−1)2+…+(m2024−1)2=1510，从而得到1的个数，由m1+m2+…+m2024=1540可得到2的个数，从而解决问题．
此题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找出运算的规律，利用规律解决问题．
8.【答案】C;
【解析】解：①若a=1，b=2，c=3，则有：a+b−c=0，a+c−b=2，b+c−a=4，所以a1，b1，c1为0、2、4三个数中的一个数，故a1，b1，c1三个数中最大的数是4，说法正确；
②若a=x2，b=2x，c=1，
当x2+2x−1=−7时，即x2+2x+6=0，则Δ=b2−4ac=4−4×6=−20<0，所以原方程无解；
当x2−2x+1=−7时，即x2−2x+8=0，则Δ=b2−4ac=4−4×8=−28<0，所以原方程无解；
当2x+1−x2=−7时，即x2−2x−8=0，解得：x1=−2，x2=4；
∴综上所述：若a=x2，b=2x，c=1，且a1，b1，c1中最小值为−7，则x1=−2，x2=4；故原说法错误；
③由题意an+bn+cn的值为定值，只需检验am+bm+cm=an+bn+cn即可，依题意可设a>b>c>0，则有a1=a+b−c，b1=a+c−b，c1=b+c−a，且a1+b1+c1=a+b+c，
又有a2=a1+b1−c1=a+b−c+a+c−b−b−c+a=3a−b−c，b2=a1+c1−b1=a+b−c+b+c−a−a−c+b=3b−a−c，c2=b1+c1−a1=a+c−b+b+c−a−a−b+c=3c−a−b，
∴a2+b2+c2=a+b+c，
显然a1+b1+c1=a2+b2+c2=a+b+c，
∴给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果a1，b1，c1按上述方法再进行一次操作，得到三个结果a2，b2，c2，以此类推，第n次操作的结果是an，bn，cn，则an+bn+cn的值为定值，说法正确；
故选：C.
根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解．
此题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解答该题的关键．
9.【答案】B;
【解析】
本题是整式加减法的综合运用，依题意列出算式，即可求出答案．
【详解】解：∵B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，
∴B同学有(x+2+3)张牌，A同学有(x−2)张牌，
∴给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3−(x−2)=x+5−x+2=7.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了列代数式以及整式的加减，解题关键是根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
10.【答案】C;
【解析】
令x=1,y=1，代入已知等式进行计算即可得．
【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令x=1,y=1，
则a1+a2+a3+a4+a5=(1+1)4=16，
故选：C.
【点睛】此题主要考查了代数式求值，观察得出所求式子与已知等式的关系是解题关键．
11.【答案】;
【解析】解：将整数m输入数值转换机A，则输出的数为2m+17，再将输出的2m+17输入到数值转换机B，由于从数值转换机B输出的数字为5，
所以5⩽2m+17<6，
解得17⩽m<20.5，
所以整数m的值为17，18，19，20，共4个，
故答案为：4.
根据数值加工机的输入，输出数字的之间的关系，得出不等式，求出不等式的整数解即可．
此题主要考查代数式求值，有理数的混合运算，掌握数值加工机的输入，输出数字的之间的关系是正确解答的关键．
12.【答案】;
【解析】解：由题意可得，y=8+(8−2)×(x−1)=6x+2，
当x=2024时，y=6×2024+2=12146，
故答案为：12146.
写出相应的代数式，然后代入数值计算即可．
此题主要考查了列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式，
13.【答案】;
【解析】解：∵BP1⊥AP1，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵P1Q1⊥AB，
∴∠P1Q1P2=30°，
∴P1Q1=12AP1=12×2=1，
∴P1P2=12，
∴AP2=2−12=32，
∴P2Q2=12AP2=12×32=34；
同理可得：P3Q3=916；
……，
∴QnPn=(34)n−1；
当n=2024时，有Q2024P2024=(34)2024−1=(34)2023；
故答案为：(34)2023.
根据题意，由30°直角三角形的性质得到P1Q1=1，P2Q2=34，P3Q3=916……，然后找出题目的规律，得到QnPn=(34)n−1，即可得到答案．
此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质．发现规律是关键．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查了列代数式，解答该题的关键是数形结合，熟练掌握长方形的面积公式．
【详解】解：3a×2a−(3a−3)(2a−1)
=6a2−(6a2−3a−6a+3)
=6a2−6a2+3a+6a−3
=9a−3.
故答案为：9a−3.
15.【答案】;;
【解析】
根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，
第二行中e为白4.
故答案为：①B，②4.
【点睛】此题主要考查图形类规律探索，解答该题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．
16.【答案】;
【解析】
根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数相同，求解即可．
【详解】∵单项式2xny3与−13x2ym的和是单项式，
∴m=3，n=2，
∴m+n=5
故答案为：5.
【点睛】此题主要考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同求解即可．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查了整式的化简求值，先把所求式子变形为7(a−b)+18，再利用整体代入法求解即可．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查了整式的化简求值，去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
19.【答案】;
【解析】
将(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2化简得m2−2mn，再将m2−2mn−3=0变形m2−2mn=3代入即可．
【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，解答该题的关键是整体代入思想的运用．
20.【答案】;
【解析】
此题主要考查了合并同类项、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解答该题的关键．
(1)根据合并同类项法则和整体思想进行计算即可；
(2)将a2−2b看作一个整体，然后对3−2a2+4b进行添括号，最后整体代入计算即可．
21.【答案】;
【解析】解：(1)第6个“三角形数”是：6×72=21，
第7个“三角形数”是：7×82=28，
则21+28=49，
故答案为：49；
(2)第n个“三角形数”与第(n+1)个“三角形数”的和可用下面等式表示：n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)2，
左边=n2+n+n2+3n+22
=2n2+4n+22
=n2+2n+1
=(n+1)2=右边．
故答案为：n(n+1)2，(n+1)(n+2)2，(n+1)2.
(1)分别求出第6或第7个“三角形数”，从而再求和即可；
(2)表示出第(n+1)个“三角形数”，再求和即可．
此题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存在的规律．
22.【答案】;
【解析】解：(1)由题意可得，13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=14n2(n+1)2，
故答案为：14n2(n+1)2；
(2)13+23+33+⋯+993+1003
=14×1002×(100+1)2
=25502500.
(1)根据题中给出的例子找出规律求解即可；
(2)根据(1)中规律进行计算即可．
题目主要考查有理数的乘方运算及规律探索，理解题意，找出相应规律是解题关键．
23.【答案】;
【解析】解：(1)若某次比赛有6支队伍进行单循环比赛，一共要安排6×52=15(场)，
故答案为：15；
(2)若有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排n(n−1)2(场)，
故答案为：n(n−1)2；
(3)2024年欧洲杯足球赛，总计需要安排6×4×32=36(场)，
故答案为：36；
(4)共有6个站，需6×5=30(种)，
故答案为：30.
(1)根据单循环比赛的规则求解；
(2)根据单循环比赛的规则求解；
(3)根据单循环比赛的规则求解；
(4)根据双循环比赛的规则求解．
此题主要考查了图形的变化规律，找到变化规律是解答该题的关键．