高考数学选填压轴题型第7讲与三角形相关的范围问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第7讲与三角形相关的范围问题专题练习(原卷版+解析)，共33页。
二．解题策略
类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决
【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题
【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．
【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.
【举一反三】
1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，
，，则周长的取值范围是
A．B．
C．D．
2．若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题
3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．
类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题
【例1】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是
【举一反三】
1．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．D．
【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题
2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．
三．强化训练
1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）
5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6、（2020山西省高考模拟） 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为
A．B．C．D．
10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
15．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【来源】2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题
17．（2020·甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，，则的取值范围是
18．（2020·广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
19．（2020·湖南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是
20．（2020·湖北高考模拟）已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是
21．（2020·河南高考模拟）在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为
22．（2020·江苏高考模拟）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
23．（2020·湖南高考模拟）在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．
第7讲 与三角形相关的范围问题
一．方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解．
二．解题策略
类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决
【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题
【答案】A
【解析】由余弦定理知：在中，有
，
在中，有，
则，
由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，
故，
在三角形中，易知，，
，当且仅当时等号成立，此时，故，
故选：A.
【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.
【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．
【答案】
【解析】【分析】设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值．
【详解】在中，设，，
在中，，，由余弦定理，可得，
由，当且仅当时取等号，即有，由于 则，
利用余弦定理可得：，化简得：，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ，
在中，由正弦定理可得：，即：，则，
由于
，即
所以的面积


当时，取最大值1，所以的面积的最大值为
【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.
【详解】由题得，
由基本不等式得
又因为，所以
所以,
所以，
所以，
.此时，故答案为1
【举一反三】
1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，
，，则周长的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为，
又，，，∴．故选B．
2．若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题
【答案】D
【解析】在中，，由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，而，所以得到，
故选：D.
3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：由,,可知为直角三角形，设设∠BAD=，则，，从而，求二次函数的最值即可.
详解：
由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=，AB=2r，则，，
在中，，即，
∴，
∴
令t=，则
当，即时，的最大值为
类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题
【例1】已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，，
设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，
令得，，即，，则
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得：，，
又，
，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为
故选：A
【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本不等式求解出最小值.
【详解】由正弦定理可得：
得：
，即
又
令，得：
为锐角三角形
得：，即
当且仅当，即时取等号
【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】
又

又，当且仅当时取等号


设，即当时，恒成立
设
则可知
可得：
【举一反三】
1．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．D．
【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
故选：C.
2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴.
由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，
即，∴线段长度的最小值为.
故选：A.
3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点
三．强化训练
1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，
取得最大值为，故选C.
2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，由正弦定理得，
又由在中，，即，即，
因为，所以，
在中，由余弦定理可知，且，
即，当且仅当时，等号成立，
即，所以的最大面积为，故选A.
3．（2020·山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，
，,
， ，
,由正弦定理得，即
，则b的取值范围为,故选C.
4．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）
【答案】C
【解析】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，
故选：C
5．（2020·安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.又，
∴，
∴.
又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，∴，故选A.
6、（2020山西省高考模拟） 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为的面积为，所以
整理得，即， ，
因为 ，所以
又因为周长为6，所以 ，即

所以 ， ，所以的最小值是2，故选A
7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.
8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.
由余弦定理，得，整理得，
即，所以，
由正弦定理，得，即，
所以，所以，
所以或（舍），故，
结合锐角，，则，，所以，
由，又因为，所以，
即的取值范围是，故选D.
9．（2020·山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．
【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），
函数的导数为．
则直线l方程为，即，
可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，
在△OAB中，，
当且仅当2＝2时取等号．
由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，
则△OAB外接圆面积，故选：C．
10．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
因为平面，，
所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.
设，则，
，
所以.
所以，
当，即时，最大.
当时，，则.
将三棱锥放入直三棱柱中，
，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，
则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，
如图所示：
根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积.
故选：D
11．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.
= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
12．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是锐角三角形，所以.
由.
所以
，由于，所以，所以.
故选：C
13．若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题
【答案】C
【解析】的面积，且，
，
，
根据余弦定理得：
，即，
可得，
，则，解得：，
即边的最小值为.
故选：C.
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】C
【解析】解法一：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
由，得，
由得，则，
所以，
因为，所以，则，当且仅当时等号成立，
的周长为，
易知是关于的增函数，
所以当时，的周长最小，为；
解法二：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．
故选：C
15．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，在中，由正弦定理得，即
整理得，
由余弦定理得，
因为，所以，在中，由余弦定理得，
所以当时，．
故选：C
16．已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【来源】2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题
【答案】C
【解析】法一：角靠拢，形助兴
，整理得：
，，
如图有：
由，可得，
代入，整理可得：，．
法二：，
得：．
法三：
，，，得，由正弦定理，得，．
，如图可得：，，，．
17．（2020·甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，，则的取值范围是
【答案】
【解析】在锐角中，，由正弦定理可得，
===
在锐角中有，
，可求得
结合余弦函数的图像与性质可得．
18．（2020·广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
19．（2020·湖南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.
【详解】
又
又，当且仅当时取等号


设，即当时，恒成立
设
则可知 ，可得：
20．（2020·湖北高考模拟）已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是
【答案】
【解析】在中，由，，，则，
要使得三角形有两个，则满足，即，
解得，即实数的取值范围是.
21．（2020·河南高考模拟）在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知得到，再由余弦定理得，再利用函数在上单调递增求出的取值范围.
【详解】因为，，所以，
即，所以，从而，
则，
因为，
所以当时，；当时，，
又在上单调递增，故的取值范围为.
22．（2020·江苏高考模拟）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
【答案】
【解析】【分析】先根据，，成等差数列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.
【详解】由题得,
所以,
所以
因为
所以
故答案为
23．（2020·湖南高考模拟）在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．
【详解】设，则：
由于，所以：．则：，
设，所以：，
因为当时，，当时，，
所以当时，的最小值为，故的最小值为。