高考数学核心考点专题训练专题26基本不等式及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题26基本不等式及其应用(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )
A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元
为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为( )
A. 20 mB. 50 mC. 1010mD. 100 m
设a>0，b>0，a+b=1，则下列说法错误的是( )
A. ab的最大值为14B. a2+b2的最小值为12
C. 4a+1b的最小值为9D. a+b的最小值为2
已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x+my≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. (0,2]
在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k=1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为 ( )
A. B. C. D.
数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．

给出下列结论：
①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2+y2)3=16x2y2(xym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_______．
设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值是 ．
18.已知a>2b(a,b∈R)，函数f(x)=ax2+x+2b的值域为[0,+∞)，则a2+4b2a−2b的最小值为______．
三、解答题（本大题共1小题，共10分）
19．设函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若（1），，求的最小值．
专题26 基本不等式及其应用
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )
A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元
【答案】B
【解析】解：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为4xm，
则总造价y=4×120+80×(2x+2⋅4x)×2
=480+320(x+4x)⩾480+320×2x⋅4x=1760(元)．
当且仅当x=4x，即x=2时，y取最小值为1760．
所以水池的最低造价为1760元．
故选B．
为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为( )
A. 20 mB. 50 mC. 1010mD. 100 m
【答案】B
【解析】解：设BC=xm，知AB=1000x m，
∴整个项目占地A1B1C1D1面积为S=(x+10)(1000x+4)=1040+4x+10000x≥1040+24x·10000x=1440．
当且仅当4x=10000x，即x=50时取等号．
∴当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为50 m．
故选B．
设a>0，b>0，a+b=1，则下列说法错误的是( )
A. ab的最大值为14B. a2+b2的最小值为12
C. 4a+1b的最小值为9D. a+b的最小值为2
【答案】D
【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：
对A，因为正实数a，b满足a+b=1，
所以1=a+b≥2ab，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立，
故ab有最大值14，故A正确;
对B，因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1，
所以a2+b2=1−2ab≥1−2×14=12，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以a2+b2有最小值12，故B正确．
对C，利用基本不等式，有4a+1b=4a+1ba+b=4ba+ab+5⩾24ba·ab+5=9，当且仅当a+b=14ba=ab,
即a=23, b=13时等号成立，
故1a+1b有最小值9，故C正确；
对D，由题意，得(a+b)2=a+b+2ab
=1+2ab≤1+214=2，
故a+b≤2，当且仅当a=b=12时等号成立，
即a+b有最大值2，故D错误．
故选D．
已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x+my≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. (0,2]
【答案】B
【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+my=12(x+y)(2x+my)=12(m+2+2yx+mxy)≥12(m+2+22yx⋅mxy)=12(m+2+22m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，
∵不等式2x+my≥4恒成立，∴12(m+2+22m)≥4，
整理得(m+32)(m−2)≥0，解得m≥2，即m≥2，
∴m的取值范围为[2,+∞)．
故选：B．
在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k=1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意可得，串联时k=md=101=10，
∵1k=1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，
∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；
并联时，k'=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d'=mk'=mk1+k2，
要想d'取得最大值，则k'取最小值，
k'=k1+k2≥2k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，
当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，
∴此时k'=k1+k2=40，
∴d'=mk'=1040=14(cm)，
则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，
故选A．
数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．
给出下列结论：
①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy