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高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题2.2基本不等式及其应用【原卷版+解析】
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这是一份高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题2.2基本不等式及其应用【原卷版+解析】，共41页。
【核心素养】
1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
常考题型剖析
题型一：利用基本不等式证明不等式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
题型二：“定和”条件下求最值
例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______.
例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
【变式训练】
变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________
题型三：“定积”条件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2.（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______.
变式3-3.（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
题型四：“和、积关系”条件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
例4-2．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
例4-3（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【规律方法】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围，如例4-1，例4-2（1）；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式训练】
变式4-1. （2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
变式4-2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
变式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知为正实数，若满足；则的最小值为_______；若，则的取值范围是_______．
题型五：“平方关系”条件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例5-2．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【规律方法】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.
变式5-2.（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.
题型六：基本不等式的实际应用
【典例分析】
例6-1.（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
题型七：基本不等式与其它知识“交汇”问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
例7-3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
例7-4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【规律方法】
1.基本不等式作为工具，应用非常广泛，它与数学的其它知识交汇考查更为普遍，从近几年高考命题看，命题交汇有：与简易逻辑用语交汇、与函数交汇、与三角函数交汇、与解三角形交汇、与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面解析几何交汇、与概率统计交汇等.
2.解决“交汇”问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
【变式训练】
变式7-1.（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
变式7-2.（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
变式7-3.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
变式7-4.（2023·全国·高三专题练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4.（2023·福建福州·统考二模）若x，y满足x2+xy+y2=3，则（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
5．（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
9．（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
10．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．
11.（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值______．
四、解答题
12．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
专题2.2 基本不等式及其应用
【核心素养】
1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
常考题型剖析
题型一：利用基本不等式证明不等式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.
（2）根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）
当时，等号成立．即．
（2）解法一：由及．
即．
当时，等号成立．所以.
解法二：因为，
所以：
．
又，，所以：
，当时，等号成立．
所以，．
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.
【详解】因为正实数、满足，
对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，B错；
对于C选项，当，时，，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：AD.
变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【详解】（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
题型二：“定和”条件下求最值
例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】由基本不等式可得，可求出xy的最大值.
【详解】因为取最大值时为，所以，，故，
当且仅当时取等号，的最大值为.
故答案为：.
例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【答案】
【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值.
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
【变式训练】
变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.
【详解】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________
【答案】
【分析】先利用指数的运算得到，再利用基本不等式求最值.
【详解】,
，即，
，当且仅当时等号成立.
则的最大值为.
故答案为：.
题型三：“定积”条件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
【答案】0
【分析】代数式凑配后利用二次函数性质和基本不等式求解．
【详解】
，
当且仅当，时，，
所以的最小值为0.
故答案为：0.
例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为为非零实数，，，均为正实数，
则
，
当且仅当且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：B．
变式3-2.（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，且，
所以,
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5，
故答案为：5
变式3-3.（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
题型四：“和、积关系”条件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
例4-2．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】或
【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【详解】当时，不成立，所以.
由得.
因为，，所以，解得，即.
所以，
令，则，于是.
令，，则.
由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.
所以，即的最大值为.
故答案为：.
例4-3（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
【规律方法】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围，如例4-1，例4-2（1）；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式训练】
变式4-1. （2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【分析】将条件转化为，然后利用“1的代换”和基本不等式可得.
【详解】因为，变形得.
由题意，当且仅当，即时，等号成立．
故选：B.
变式4-2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
变式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知为正实数，若满足；则的最小值为_______；若，则的取值范围是_______．
【答案】 ； .
【分析】由题意得，，根据乘“1”法计算的最小值，同时判断取等的条件；根据基本不等式得，通过换元，求解不等式，从而求解出的取值范围.
【详解】由题意得，，因为为正实数，
根据乘“1”法得，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为；
由基本不等式得，，
当且仅当时取等号，
所以，令，
则，解得，
即，.
所以的取值范围是.
故答案为：；
题型五：“平方关系”条件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
例5-2．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【规律方法】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.
【答案】
【分析】解法一：利用条件，将转化为二次函数，进而可确定的范围．
解法二：由得，设，则，再结合余弦函数及二次函数的性质计算可得.
【详解】解法一：，
，可得．
，
令，，
显然函数在上单调递增，，，即，
的取值范围是．
解法二：由得，设，即，
则
令，，，，显然在上单调递增，
所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式5-2.（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.
【答案】/
【分析】将变为，则可将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由，且可得，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
即的最大值为，
故答案为：
题型六：基本不等式的实际应用
【典例分析】
例6-1.（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为，则，．
所以周长，面积．
所以
．
当且仅当，时等号成立．
故选：B
题型七：基本不等式与其它知识“交汇”问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
例7-3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】
【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.
【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，
由题意可知，，
又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，
而圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，，
故答案为：
例7-4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
【规律方法】
1.基本不等式作为工具，应用非常广泛，它与数学的其它知识交汇考查更为普遍，从近几年高考命题看，命题交汇有：与简易逻辑用语交汇、与函数交汇、与三角函数交汇、与解三角形交汇、与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面解析几何交汇、与概率统计交汇等.
2.解决“交汇”问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
【变式训练】
变式7-1.（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.
【详解】由，得，
令，则在上单调递增，所以，即，
又因为是正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
变式7-2.（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
【答案】52π
【分析】先分析正六棱柱的体积最大时底面边长和高的值，再求解其外接球的半径进而求得外接球的表面积.
【详解】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则，
正六棱柱的体积，
当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，
其半径为，∴外接球的表面积为．
故答案为：．
变式7-3.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】根据面积关系建立关系式，结合基本不等式进行求解.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，
即，整理得，
得，又，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，则的最小值是9．
故答案为：9
变式7-4.（2023·全国·高三专题练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】先根据题意得出，再结合基本不等式即可求得的最小值．
【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，
则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由均值定理即可求得的最小值.
【详解】，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【详解】因为，，且，
由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；
由基本不等式知，则，
即（当且仅当时取等号），B正确；
由题得，
由已知，故，所以，
故，C正确；
由基本不等式可得，
即（当且仅当时取等号），D错误.
故选：D.
二、多选题
4.（2023·福建福州·统考二模）若x，y满足x2+xy+y2=3，则（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
【答案】AD
【分析】由可得，令可得，再借助三角函数的取值范围可判断各项.
【详解】由可得，
令可得
对于A、B：，故A正确，B错误；
对于C、D：
，故C错误，D正确.
故选：AD．
5．（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确；根据基本不等式计算可得当时，成立，但显然，即D错误.
【详解】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
三、填空题
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．
【详解】∵直线过点，
．
，当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
9．（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
【答案】12
【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．
【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，
∵，又，
∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当取最小值时，，，
∴，∴.
10．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．
【答案】4
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】，
，
当且仅当，
即时等号成立.
故答案为：
11.（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值______．
【答案】36
【分析】首先转化向量表示，再结合平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求最值.
【详解】由条件可知，所以，点三点共线，
所以，且，
，
当时，等号成立.
故答案为：36
四、解答题
12．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．
（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.
【核心素养】
1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
常考题型剖析
题型一：利用基本不等式证明不等式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
题型二：“定和”条件下求最值
例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______.
例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
【变式训练】
变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________
题型三：“定积”条件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2.（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______.
变式3-3.（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
题型四：“和、积关系”条件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
例4-2．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
例4-3（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【规律方法】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围，如例4-1，例4-2（1）；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式训练】
变式4-1. （2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
变式4-2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
变式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知为正实数，若满足；则的最小值为_______；若，则的取值范围是_______．
题型五：“平方关系”条件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例5-2．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【规律方法】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.
变式5-2.（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.
题型六：基本不等式的实际应用
【典例分析】
例6-1.（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
题型七：基本不等式与其它知识“交汇”问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
例7-3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
例7-4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【规律方法】
1.基本不等式作为工具，应用非常广泛，它与数学的其它知识交汇考查更为普遍，从近几年高考命题看，命题交汇有：与简易逻辑用语交汇、与函数交汇、与三角函数交汇、与解三角形交汇、与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面解析几何交汇、与概率统计交汇等.
2.解决“交汇”问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
【变式训练】
变式7-1.（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
变式7-2.（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
变式7-3.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
变式7-4.（2023·全国·高三专题练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4.（2023·福建福州·统考二模）若x，y满足x2+xy+y2=3，则（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
5．（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
9．（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
10．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．
11.（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值______．
四、解答题
12．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
专题2.2 基本不等式及其应用
【核心素养】
1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
常考题型剖析
题型一：利用基本不等式证明不等式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.
（2）根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）
当时，等号成立．即．
（2）解法一：由及．
即．
当时，等号成立．所以.
解法二：因为，
所以：
．
又，，所以：
，当时，等号成立．
所以，．
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.
【详解】因为正实数、满足，
对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，B错；
对于C选项，当，时，，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：AD.
变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【详解】（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
题型二：“定和”条件下求最值
例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】由基本不等式可得，可求出xy的最大值.
【详解】因为取最大值时为，所以，，故，
当且仅当时取等号，的最大值为.
故答案为：.
例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【答案】
【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值.
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
【变式训练】
变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.
【详解】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________
【答案】
【分析】先利用指数的运算得到，再利用基本不等式求最值.
【详解】,
，即，
，当且仅当时等号成立.
则的最大值为.
故答案为：.
题型三：“定积”条件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
【答案】0
【分析】代数式凑配后利用二次函数性质和基本不等式求解．
【详解】
，
当且仅当，时，，
所以的最小值为0.
故答案为：0.
例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为为非零实数，，，均为正实数，
则
，
当且仅当且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：B．
变式3-2.（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，且，
所以,
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5，
故答案为：5
变式3-3.（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
题型四：“和、积关系”条件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
例4-2．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】或
【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【详解】当时，不成立，所以.
由得.
因为，，所以，解得，即.
所以，
令，则，于是.
令，，则.
由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.
所以，即的最大值为.
故答案为：.
例4-3（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
【规律方法】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围，如例4-1，例4-2（1）；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式训练】
变式4-1. （2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【分析】将条件转化为，然后利用“1的代换”和基本不等式可得.
【详解】因为，变形得.
由题意，当且仅当，即时，等号成立．
故选：B.
变式4-2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
变式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知为正实数，若满足；则的最小值为_______；若，则的取值范围是_______．
【答案】 ； .
【分析】由题意得，，根据乘“1”法计算的最小值，同时判断取等的条件；根据基本不等式得，通过换元，求解不等式，从而求解出的取值范围.
【详解】由题意得，，因为为正实数，
根据乘“1”法得，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为；
由基本不等式得，，
当且仅当时取等号，
所以，令，
则，解得，
即，.
所以的取值范围是.
故答案为：；
题型五：“平方关系”条件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
例5-2．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【规律方法】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.
【答案】
【分析】解法一：利用条件，将转化为二次函数，进而可确定的范围．
解法二：由得，设，则，再结合余弦函数及二次函数的性质计算可得.
【详解】解法一：，
，可得．
，
令，，
显然函数在上单调递增，，，即，
的取值范围是．
解法二：由得，设，即，
则
令，，，，显然在上单调递增，
所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式5-2.（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.
【答案】/
【分析】将变为，则可将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由，且可得，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
即的最大值为，
故答案为：
题型六：基本不等式的实际应用
【典例分析】
例6-1.（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为，则，．
所以周长，面积．
所以
．
当且仅当，时等号成立．
故选：B
题型七：基本不等式与其它知识“交汇”问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
例7-3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】
【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.
【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，
由题意可知，，
又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，
而圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，，
故答案为：
例7-4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
【规律方法】
1.基本不等式作为工具，应用非常广泛，它与数学的其它知识交汇考查更为普遍，从近几年高考命题看，命题交汇有：与简易逻辑用语交汇、与函数交汇、与三角函数交汇、与解三角形交汇、与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面解析几何交汇、与概率统计交汇等.
2.解决“交汇”问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
【变式训练】
变式7-1.（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.
【详解】由，得，
令，则在上单调递增，所以，即，
又因为是正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
变式7-2.（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
【答案】52π
【分析】先分析正六棱柱的体积最大时底面边长和高的值，再求解其外接球的半径进而求得外接球的表面积.
【详解】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则，
正六棱柱的体积，
当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，
其半径为，∴外接球的表面积为．
故答案为：．
变式7-3.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】根据面积关系建立关系式，结合基本不等式进行求解.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，
即，整理得，
得，又，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，则的最小值是9．
故答案为：9
变式7-4.（2023·全国·高三专题练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】先根据题意得出，再结合基本不等式即可求得的最小值．
【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，
则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由均值定理即可求得的最小值.
【详解】，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【详解】因为，，且，
由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；
由基本不等式知，则，
即（当且仅当时取等号），B正确；
由题得，
由已知，故，所以，
故，C正确；
由基本不等式可得，
即（当且仅当时取等号），D错误.
故选：D.
二、多选题
4.（2023·福建福州·统考二模）若x，y满足x2+xy+y2=3，则（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
【答案】AD
【分析】由可得，令可得，再借助三角函数的取值范围可判断各项.
【详解】由可得，
令可得
对于A、B：，故A正确，B错误；
对于C、D：
，故C错误，D正确.
故选：AD．
5．（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确；根据基本不等式计算可得当时，成立，但显然，即D错误.
【详解】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
三、填空题
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．
【详解】∵直线过点，
．
，当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
9．（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
【答案】12
【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．
【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，
∵，又，
∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当取最小值时，，，
∴，∴.
10．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．
【答案】4
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】，
，
当且仅当，
即时等号成立.
故答案为：
11.（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值______．
【答案】36
【分析】首先转化向量表示，再结合平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求最值.
【详解】由条件可知，所以，点三点共线，
所以，且，
，
当时，等号成立.
故答案为：36
四、解答题
12．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．
（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.
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