南宁四十七中2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版）

这是一份南宁四十七中2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分： 120 分 考试时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可得到答案．
【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、与能合并，故C符合题意；
D、，与不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3. 用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C
4. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质．由中知随的增大而增大即可判断与的大小关系．
【详解】一次函数中，
随的增大而增大
，中，
．
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据题意，由抛物线为，从而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．
【详解】解：由题意，抛物线为，
顶点为．
故选：C．
7. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. B. 7C. 7或D. 49
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解．
【详解】∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故选：A
8. 表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A. 这个函数的最小值为B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与x轴无交点D. 当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
依题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故C选项不正确，不符合题意；
∵，
∴当时，这个函数有最小值，故A选项不正确，不符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为，开口向上，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，
故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
9. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A. 中位数是4B. 众数是4C. 平均数是4D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查方差、众数、中位数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．根据方差公式得出这组数据，中位数是第二位数和第三位数的平均数；众数是出现次数最多的4；四个数相加之和再除以4求其平均数；每个数据与平均数的差的平方之和，再除以4求出方差．
【详解】解：这组数据按照从小到大排列是：3、4、4、5，
中位数是4，众数是4，平均数是，
∴答案A、B、C均正确，，
∴答案D错误，
故选：D．
10. 已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A. B. 3或C. 3D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
故选：C．
11. 如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点Px1,y1和，若且，则．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线时，，
∴时，，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴，
∴，
故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
∴，故④不正确．
故选：C．
二、填空题 （本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若有意义，则能取的最小整数值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴能取得最小整数为1．
故答案为：1
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键．
14. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为．
本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可．
【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴解析式为．
故答案为：．
15. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案．
【详解】
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．
16. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的平移，函数与坐标轴交点情况，解题的关键是掌握函数图象的平移规律．根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，令，进而即可得平移后抛物线与x轴交点的坐标．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得：
平移后解析式为：，
令，则，
解得：，
平移后抛物线与x轴交点的坐标是，
故答案为：．
17. 一元二次方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，选择适合的方法可以简便运算；
运用因式分解解一元二次方程即可；
【详解】解：
移项：
提公因式：
或
或
故答案为：，
18. 如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 __________________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故②错误；
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∵N为的中点，
∴，
∵G为上一动点（不与端点B，C重合），
∴点D，F，G不可能共线，
∴不平行，
即四边形不可能是正方形，故③正确；
如图，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵G为中点，点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程组的解是．
21. 如图， 在矩形中，是对角线．
（1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线，交于点O，交、延长线分别于点 E、F， 连接、． （保留作图痕迹， 不写作法）
（2）求证： 四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据分别以A、C为圆心，大于长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点做图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，结合矩形的性质可判定，从而可得四边形是平行四边形，继而可得四边形是菱形．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
证明：是线段的垂直平分线，为的中点，
，，，，
四边形是矩形，
即，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
22. 七年级某班体育测试中有一项为定点投篮，规定每名同学投5次，投中1次记1分，测试时两名同学请假未到校，其余同学的成绩如图所示，
（1）这些同学投篮成绩的众数是 分，中位数是 分；
（2）若两名请假的同学补测后发现全班成绩的中位数与众数都发生了变化，这两名同学的成绩的平均值是 分；
（3）若规定成绩不低于3分则合格，请根据（1）的统计结果估计七年级1200名学生的合格人数．
【答案】（1），
（2）
（3）估计七年级1200名学生的合格人数为人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）由样本估计总体的计算方法求解即可．
【小问1详解】
解：∵这些同学投篮成绩为分出现的次数最多，
∴这些同学投篮成绩的众数是分，
∵（人），
∴中位数是第和个数据的平均数，即；
【小问2详解】
解：∵两名请假的同学补测后发现全班成绩的中位数与众数都发生了变化，
∴如果有一个补测的同学的成绩为分，则中位数不变；
如果补测的两名同学的成绩都为分，则中位数和众数都不变；
如果有一个补测的同学的成绩低于分，则众数不变；
如图补测的两名同学的成绩都为分，则中位数为分，众数为和，众数和中位数都发生了变化，
∴这两名同学的成绩可分别为分，分，
故这两名同学的成绩的平均值是（分）；
【小问3详解】
解：由题意得：（人），
∴估计七年级1200名学生的合格人数为人．
23. 阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务．
利用均值换元法解一类一元二次方程
解方程：
第一步： 原方程可变形为：；
第二步：令
第三步： 第一步的方程可变形为；
第四步： ……；
根据t的值可以求出
方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解．
（1）利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ；
A． 分类讨论思想 B． 数形结合思想 C． 整体代换思想 D． 类比思想
（2）完成材料中第三步以后求t值过程；
（3）根据材料内容，利用均值换元法解方程：
【答案】（1）C （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程：
（1）根据题意可得体现的数学思想是整体代换思想；
（2）根据平方差公式去括号得到，解得，则或，据此可得答案；
（3）先整理原方程得到，再令，则原方程为，仿照（2）解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想，
故选：C；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解：
整理得：，
令，则原方程为，
∴，
∴，
∴或，
解得．
24. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为y件．
（1）直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式______；
（2）为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）为了让顾客得到更大实惠，该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元
（3）每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元
【解析】
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解；
（3）设日销售利润为W元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【小问1详解】
解：
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴舍去，
∴，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
【小问3详解】
解：设日销售利润为W元，由题意得：
，
∵，
∴当时，（元）；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
25. 在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”学习过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：
（1）列表：函数自变量x取值范围是全体实数，下表列出了变量x与y的几组对应数值：
根据表格中的数据直接写出y与x的函数解析式及对应的自变量x的取值范围：____________；
（2）描点、连线，在平面直角坐标中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：_______________________；
（3）已知函数的图象如图，结合函数图象，请直接写出当时，自变量x的值．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）；（2）画图见解析，当时，随的增大而增大；（3）当时，自变量的值为：，
【解析】
【分析】（1）把代入：中求解 再把代入中，求解 从而可得答案；
（2）先根据表中数据描点，再连线即可，再根据图像直接得出一条性质即可；
（3）由，直接观察所画函数的图形与的图像的交点的横坐标即可得到答案．
【详解】解：（1）把代入：中得：


（＜），
再把代入中，




故答案：
（2）根据表格中的的对应数值，分别描点，再连线即可得到如图的图像：
根据图像可得：当时，随的增大而增大．
故答案为：当时，随的增大而增大．
（3）由图像可得：当时，即观察直线与所画函数图像的交点，
可得从左往右的交点的横坐标约为：，
即当时，自变量的值为：，
【点睛】本题考查的是探究函数图像的作图，利用待定系数法求解函数解析式，利用图像归纳函数的性质，利用函数图像解高次方程，掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1）________°（直接写出结果不写解答过程）
（2）求证：四边形是正方形．
若，求的面积．
（3）如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；；
（3）．
【解析】
【分析】（）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（）过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证；
证明得，同理得，设，得，又由可得，
得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解；
（）如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，同理（）即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：过点作于，
∵平分，，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，
由折叠可得，，，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
x
…
0
1
3
…
y
…
6
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
4
0
2
4
0
1
…