高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.1数列的概念与简单表示专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.1数列的概念与简单表示专题练习（学生版+解析），共28页。试卷主要包含了数列的通项公式，其前项和为，则，【多选题】，已知数列满足.，数列中，，.等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．递推公式也是数列的一种表示方法
B．an=an-1，a1=1(n≥2)是递推公式
C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法
D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是递推公式
3．（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则
A．B．C．D．
4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．55B．58C．60D．62
7．（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（ ）
A．1010B．2020C．3030D．4040
8.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（ ）
A．B．C．D．
9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．
10.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
练提升TIDHNEG
1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．当为偶数时，D．当为奇数时，
5．（2020·四川高一期末（理））已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的､都有：，则数列的第47项的值为（ ）
A．384B．47C．49D．376
7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（ ）
A．B．数列是递增数列
C．D．
8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．
练真题TIDHNEG
1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2019·浙江高考真题）设，数列中，， ,则（ ）
A．当B．当
C．当D．当
3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330
C．220 D．110
4．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·全国高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
6.（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
专题7.1 数列的概念与简单表示
练基础
1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】
利用an=an-1+an-2(n>2)逐项求解即可求得答案.
【详解】
解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，
∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.
答案：C.
2．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．递推公式也是数列的一种表示方法
B．an=an-1，a1=1(n≥2)是递推公式
C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法
D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是递推公式
【答案】C
【解析】
根据数列的概念及递推公式的概念逐项排除答案，得出结论.
【详解】
根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误；
故选：C.
3．（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据三角函数的周期性可
，同理得，可知周期为4，
．
4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】D
【解析】
依题意可得，设，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由，可得递增，根据即可证明D；
【详解】
解：由得，设，
则，故A错．
取，知B错，时，数列不满足，知C错．
对于D，由，知递增，
所以，知D正确；
故选：D
5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；
【详解】
解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以
故选：A
6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．55B．58C．60D．62
【答案】A
【解析】
表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.
【详解】
已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴，
又∵;
;
;
;
;
,
故选：A.
7．（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（ ）
A．1010B．2020C．3030D．4040
【答案】B
【解析】
已知条件可化为左右两端同乘以有，即，，…，，通过累加求和，计算即可求得结果.
【详解】
左右两端同乘以有，
从而，，…，，
将以上式子累加得．
由得．
令，有．
故选：B.
8.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，，
则有，，
且函数在上单调递增，
故有，得，
同理有，
又因为，
故，
所以.
故选D.
9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．
【答案】4
【解析】
归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.
【详解】
由题得，
，
，
,
,
,
所以数列的周期为6，，
，
所以.
故答案为：4
10.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
【答案】最大项为
【解析】
设是该数列的最大项，则
∴
解得
∵，
∴，
∴最大项为
练提升TIDHNEG
1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.
【详解】
，取，
相减，
，
则推出
当时，
原式
故选：A
2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
因为，，
所以，
，
，
，
，
故选：B
3.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
因为数列是递增数列，
所以，解得，即.
故选：C.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．当为偶数时，D．当为奇数时，
【答案】B
【解析】
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．
【详解】
解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
则数列的通项公式为：，
所以，，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
故选：B．
5．（2020·四川高一期末（理））已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由和与通项的关系先求出，进而求出，，再用裂项相消求出即可获解.
【详解】
设数列的前项和为，由题意得，
当时，，即
当时，
所以，当时，，也满足，所以
故
故，
所以实数的取值范围为
故选：A.
6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的､都有：，则数列的第47项的值为（ ）
A．384B．47C．49D．376
【答案】A
【解析】
根据，分别取不同的n值，求得，并根据，求得；取得，，从而利用累加法求得，从而求得结果.
【详解】
时，，解得，
时，，得，
时，，得，
从而有，，
时，，得，
时，，得，
则，，
又，故，
取得，，则
故，
则，
故数列的第47项为
故选：A
7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（ ）
A．B．数列是递增数列
C．D．
【答案】ABD
【解析】
选项A. 设,求出其导函数得出其单调性，可得，，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B. 设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断; 选项C. 由可判断；选项：由选项B数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断.
【详解】
由题意，则
设，则
所以在上的单调递减，所以，即
当时，可得，即
设，
所以在上的单调递增，所以
取，可得，即
所以，所以选项A正确.
设，则
由上在上恒成立，则
所以在上恒成立，所以在上单调递增.
所以数列是递增数列，故选项B正确.
由，所以，所以选项C不正确.
由数列是递增数列，所以
由上，则，所以
所以，故选项D正确.
故选： ABD
8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.
【详解】
由递推公式，可得，，
所以，A选项正确；
又由递推公式可得，，，类似的有，
累加得，
故错误，B选项错误；
由题可知扇形面积，
故，
故错误，C选项错误；
由，
，
，
，
类似的有，
累加得，
又，所以，
所以正确，D选项正确；
故选：AD.
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.
（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以
两式相减可得：
所以，
当时，满足，
所以，
（2），
由可得：，
所以，
令，只需.
，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以，
所以实数的取值范围为.
10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．
【答案】（1），（2），且是正整数
【解析】
（1）∵，
∴
∴
（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是
由可得
∴
∴
∵，
∴
即
由，得，解得或
∵是正整数，
∴所求的取值范围为，且是正整数
练真题TIDHNEG
1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
2.（2019·浙江高考真题）设，数列中，， ,则（ ）
A．当B．当
C．当D．当
【答案】A
【解析】
对于B，令0，得λ，
取，∴，
∴当b时，a10＜10，故B错误；
对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，
取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，
∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；
对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，
取，∴，…，10，
∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；
对于A，，，
，
an+1﹣an＞0，{an}递增，
当n≥4时，an1，
∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．
故选：A．
3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330
C．220 D．110
【答案】A
【解析】
由题意得，数列如下：
1,1,2,1,2,4,⋯1,2,4,⋯,2k−1⋯
则该数列的前1+2+⋯+k=k(k+1)2项和为
Sk(k+1)2=1+(1+2)+⋯+(1+2+⋯+2k−1)=2k+1−k−2，
要使k(k+1)2>100，有k≥14，此时k+2