高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题6.3平面向量的应用专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题6.3平面向量的应用专题练习（学生版+解析），共32页。试卷主要包含了【多选题】等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A．B．7C．5D．
2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（ ）
A．5∶3∶4B．5∶4∶3C．D．
3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A．B．为锐角三角形
C．D．
4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.
6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．
7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.
10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
练提升TIDHNEG
1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．
3．（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.
4．（2021·浙江高一期末）在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．
5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.
7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形边上有两点P､Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.
8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.
9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：
（1）求的值；
（2）求边的值．
10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
4．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
5.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
专题6.3 平面向量的应用
练基础
1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A．B．7C．5D．
【答案】B
【解析】
取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案
【详解】
解：取的中点，连接，并延长到，使，
因为为等边三角形，所以，
所以,
因为，
所以,
因为等边的边长为，
所以，
要使取得最大值，则与共线且同向，
所以的最大值为，
故选：B
2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（ ）
A．5∶3∶4B．5∶4∶3C．D．
【答案】D
【解析】
利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.
【详解】
由题意，在中，，
利用向量的数量积的定义可知，即
即，
即，
设，
解得，所以，
所以由正弦定理可得.
故选:D.
3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A．B．为锐角三角形
C．D．
【答案】ACD
【解析】
画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误
【详解】
解：
，所以，故A正确；
若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；
而，故C正确
由余弦定理有
故有，故D正确
故选：ACD．
4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
根据垂径定理先求出，再求即可.
【详解】
令，则，所以（舍）或，
所以，
所以.
故选：BD.
5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积.
【详解】
因为，所以.
设，则，
在中，由余弦定理可得，解得，
所以.
故答案为：.
6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
取，，作，
为内（包含边界）的一动点且，
根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.
在中，，
，，
，，
即的最大值为.
故答案为：.
7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由条件得，代入坐标形式进行运算，得到，从而求得范围.
【详解】
设点，由条件可知，，设向量与的夹角为，由得，即，
因为是非零向量，所以，于是，
因为，所以，所以的取值范围是．
故答案为：
8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
将条件转化，然后用数形结合求解.
【详解】
设，，，则，，
依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.
其半径，为点到直线的距离，
显然，当运动到点处时，有最大值.
故答案为：.
9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.
【答案】证明见解析.
【解析】
结合向量的数量积即可证明.
【详解】
如图，设，则，
①-②得：，即
故，即，又
所以，，三点共线，
所以，，相较于一点.
10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
【答案】（1）点B与点P之间的距离为海里，（2）.
【解析】
（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；
（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.
【详解】
（1）两船的位置图如下：
由图可得，，所以
所以由余弦定理可得
所以点B与点P之间的距离为海里
（2）如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，
其中
在中，由正弦定理可得
所以
即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为
练提升TIDHNEG
1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】或0
【解析】
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．
【答案】
【解析】
结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC边的中线的最小值
【详解】
∵，∴，
而，
∴，
∵，∴
即，
∵，∴，∴，故；
延长中线到点，使得，
不妨设中线长为，如图所示，即，
由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而，
∴，，，
∴在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：；.
3．（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
先由正弦定理，然后再化简、变形得，就可以求出角.求的取值范围时，先将图形补成平形四边形，然后运用余弦定及基本不等式求范围.
【详解】
由正弦定理及得，
.因为所以所以，又
所以；
把补成平行四边形（如图所示），在中，，
由余弦定理得等号成立，
所以.又，所以.综上得.
故线段的取值范围是.
故答案为：；.
4．（2021·浙江高一期末）在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．
【答案】
【解析】
设，，根据重心位置及共线定理求得，根据面积公式分别表示出分别与，的关系，代入求得取最小值时的参数的值，根据与间的关系求得结果.
【详解】
设，，，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交AB于M，则，
则，又D，G，E三点共线，
则，即，
，
同理得，
则，又，
则
当且仅当即时，等号成立，此时，
故答案为：
5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
【答案】
【解析】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
根据题意设，，，由得出的范围，由得出关系，则，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案.
【详解】
设，，
所以
由，可得，即
由，可得
所以
又，所以
则
当时，等号成立.
此时，或
即，或（这与矛盾，故舍去），
由，则，即
所以，解得
此时
所以
故答案为：
7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形边上有两点P､Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的的范围即可得到答案.
【详解】
建立如下图所示的平面直角坐标系.
①当两点在正方形的同一边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，由于，所以满足，
可得，
所以；
②当两点在正方形的相邻边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，
所以，
由于，所以满足，
其表示的平面区域如下图所示：
令，当过时，有最小值，
当与圆相切时，有最大值，
所以这种情况下；
③当两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设，
所以，由图可知，，
所以.
综上可知：.
故答案为：.
8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.
【答案】
【解析】
由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D、E使、，进而可知表示，若是关于的对称点，可知共线时最小，△中应用余弦定理求，即可求.
【详解】
由题设，如下图示，若，，则，，，即，
∴，即，
若是关于的对称点，
∴，即，如下图示，
当且仅当共线时，即最小，
∵，即，，
∴此时，△中，，而且为锐角，
∴，而.
故答案为：.
9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：
（1）求的值；
（2）求边的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）根据条件先用正弦定理，再由两角和的公式化简即可求解；
（2）由题意得，再两边平方及角平分线定理求得，再运用余弦定理可求解.
【详解】
（1）因为， 由正弦定理得，
，
即，
因为、为的内角，所以，
所以，因此．
（2）由题意得，两边平方得，
整理得，
又因为角的角平分线交边于点，可得，即得
代入上式得，
整理得，
再由余弦定理得：，
解得边.
10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）在中利用余弦定理求解出的值，在中利用余弦定理求解出的值，然后利用余弦值求解出；
（2）将分别表示为，，然后根据数量积运算确定出何时取最大值并求解出最大值.
【详解】
解：（1）当为中点时，设，则由余弦定理得
，解得，
此时，由余弦定理得
，所以，
所以，所以，
所以，
所以；
（2）由得，，
所以
，
所以，当取最小即时上式最大，此时，
所以，所以的最大值为.
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
故选：C
3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【解析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
4．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【解析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
5.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.
【详解】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.