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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示专题练习（学生版+解析）
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示专题练习（学生版+解析），共22页。试卷主要包含了设已知向量，向量.，已知，，已知向量，若，等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．10
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则 ________.
6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.
7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量垂直.
8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求.
9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.
10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.
3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB与OC的夹角为45∘，若OC=mOA+nOBm,n∈R，则m+n=_________．
5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．
6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.
7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标.
8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)，则m=_________.
6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示
练基础
1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．10
【答案】C
【解析】
先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】
因，，则，而，，
于是得，即，解得，
所以的值为2.
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.
【详解】
因为，所以，
因为，
所以，所以．
故选:.
3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，，，，
由是线段上的点，设，且，
因此，，
故，
因，所以当时，取最小值.
故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.
【详解】
取，作为基底，则.
因为，所以，
所以.
故选：D.
5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则 ________.
【答案】1
【解析】
由共线可设，进而得，化简对应的即可得解.
【详解】
∵三点共线，
∴存在非零实数，使得，
∴
∴
∵，
∴.
故答案为：1
6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
平行四边形中，，
∴，
即点坐标为，故答案为.
7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量垂直.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出；
（2）可求出，然后根据与垂直即可得出，解出即可．
【详解】
（1）∵，，
∴.
（2）∵，且与垂直，
∴，解得.
8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）先求与向量共线的单位向量，结合，即可得出的坐标；
（2）先根据夹角求出，根据模的运算律 ，即可得到.
【详解】
解：（1），
与共线的单位向量为.
，，
或.
（2），，，
，
，
.
9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.
【答案】
【解析】
根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
即
10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）根据得到，再求出，，，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.
【详解】
（1），，
，，解得，
，，，
，
所以向量与的夹角为.
（2），
．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】CD
【解析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，再由定义计算后，可得答案.
【详解】
首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，∴，而，且，
可得，
又∵中，∴，从而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有或．
故选：CD.
2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出．
【详解】
解：如图所示，
，，三点共线，
存在实数满足，
又，，
，
即，与两比较，
可得，，
则．
的取值范围是．
故答案为：．
3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
根据可得，再表示出坐标，由条件可得，再将代入可得关于的不等式，从而可得答案.
【详解】
解析：设点，由，得，所以.
因为，所以，
即，化简得
将代入，得，即，
解得.
因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.
故实数的取值范围是.
4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB与OC的夹角为45∘，若OC=mOA+nOBm,n∈R，则m+n=_________．
【答案】3
【解析】
以OA为x轴，建立直角坐标系，则A1,0，由OC的模为2与OA与OC的夹角为α，且tanα=7知，csα=210,sinα=210 ，可得C15,75, Bcsα+45∘,sinα+45∘，∴B−35,45，由OC=mOA+nOB可得15,75=m−35n,45n,15=m−35n75=45n m=54,n=74，∴m+n=3，故答案为3.
5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】 ．
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求；用坐标表示出，结合三角函数的图象可得实数的取值范围.
【详解】
由向量共线得，则，
又，则；
计算得，
则，
又存在两个不同的值，使得恒成立，
则在上有两个不同的解，
令，由，得，
作出简图如下，所以有．
故答案为： ；．
6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
利用向量的数量积可得，过点作的垂线，垂足为，可得，进而可得，求出；以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，首先求出点坐标，设，利用向量共线求出，再由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由，则,
因为，所以，
过点作的垂线，垂足为，可得，
因为，所以，
由，所以.
以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，如图：
则，，设
由，即，
解得，即，
设，，，
则，，
因为三点共线，
所以，即，
，，
所以
，
当时，取得最大值为.
故答案为：；
7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标.
【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.
【解析】
（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.
（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.
（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.
【详解】
由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).
（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)
=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).
（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，
∴，解得.
（3）设O为坐标原点，∵，
∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).
∴M(0，20).
又∵，
∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，
∴N(9，2)，∴=(9，-18).
8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
【答案】.
【解析】
可设与夹角为，则据题意得出为锐角，且，从而根据的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出的范围．
【详解】
解：，
的夹角为锐角，设的夹角为，则：，
，
又；
，
，
，
，
，
与夹角的取值范围为．
9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；
（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故
10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，，利用坐标公式求得数量积即可.
（2）设点坐标为，求得，利用三角函数的最值求得数量积的最值.
【详解】
解：（1），，
.
（2）点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，
设点坐标为，
又，，
，
又 ，则
，
故当时，有最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
【答案】C
【解析】
由，，得，则，．故选C．
2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)，则m=_________.
【答案】-1.
【解析】
∵a=(1,0),b=(−1,m)，
∴ma−b=(m,0)−(−1,m)=(m+1,−m)，
由a⊥(ma−b)得：a⋅(ma−b)=0，
∴a⋅(ma−b)=m+1=0，
即m=−1.
6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【解析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．10
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则 ________.
6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.
7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量垂直.
8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求.
9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.
10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.
3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB与OC的夹角为45∘，若OC=mOA+nOBm,n∈R，则m+n=_________．
5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．
6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.
7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标.
8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)，则m=_________.
6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示
练基础
1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．10
【答案】C
【解析】
先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】
因，，则，而，，
于是得，即，解得，
所以的值为2.
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.
【详解】
因为，所以，
因为，
所以，所以．
故选:.
3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，，，，
由是线段上的点，设，且，
因此，，
故，
因，所以当时，取最小值.
故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.
【详解】
取，作为基底，则.
因为，所以，
所以.
故选：D.
5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则 ________.
【答案】1
【解析】
由共线可设，进而得，化简对应的即可得解.
【详解】
∵三点共线，
∴存在非零实数，使得，
∴
∴
∵，
∴.
故答案为：1
6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
平行四边形中，，
∴，
即点坐标为，故答案为.
7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量垂直.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出；
（2）可求出，然后根据与垂直即可得出，解出即可．
【详解】
（1）∵，，
∴.
（2）∵，且与垂直，
∴，解得.
8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）先求与向量共线的单位向量，结合，即可得出的坐标；
（2）先根据夹角求出，根据模的运算律 ，即可得到.
【详解】
解：（1），
与共线的单位向量为.
，，
或.
（2），，，
，
，
.
9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.
【答案】
【解析】
根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
即
10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）根据得到，再求出，，，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.
【详解】
（1），，
，，解得，
，，，
，
所以向量与的夹角为.
（2），
．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】CD
【解析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，再由定义计算后，可得答案.
【详解】
首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，∴，而，且，
可得，
又∵中，∴，从而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有或．
故选：CD.
2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出．
【详解】
解：如图所示，
，，三点共线，
存在实数满足，
又，，
，
即，与两比较，
可得，，
则．
的取值范围是．
故答案为：．
3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
根据可得，再表示出坐标，由条件可得，再将代入可得关于的不等式，从而可得答案.
【详解】
解析：设点，由，得，所以.
因为，所以，
即，化简得
将代入，得，即，
解得.
因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.
故实数的取值范围是.
4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB与OC的夹角为45∘，若OC=mOA+nOBm,n∈R，则m+n=_________．
【答案】3
【解析】
以OA为x轴，建立直角坐标系，则A1,0，由OC的模为2与OA与OC的夹角为α，且tanα=7知，csα=210,sinα=210 ，可得C15,75, Bcsα+45∘,sinα+45∘，∴B−35,45，由OC=mOA+nOB可得15,75=m−35n,45n,15=m−35n75=45n m=54,n=74，∴m+n=3，故答案为3.
5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】 ．
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求；用坐标表示出，结合三角函数的图象可得实数的取值范围.
【详解】
由向量共线得，则，
又，则；
计算得，
则，
又存在两个不同的值，使得恒成立，
则在上有两个不同的解，
令，由，得，
作出简图如下，所以有．
故答案为： ；．
6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
利用向量的数量积可得，过点作的垂线，垂足为，可得，进而可得，求出；以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，首先求出点坐标，设，利用向量共线求出，再由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由，则,
因为，所以，
过点作的垂线，垂足为，可得，
因为，所以，
由，所以.
以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，如图：
则，，设
由，即，
解得，即，
设，，，
则，，
因为三点共线，
所以，即，
，，
所以
，
当时，取得最大值为.
故答案为：；
7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标.
【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.
【解析】
（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.
（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.
（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.
【详解】
由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).
（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)
=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).
（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，
∴，解得.
（3）设O为坐标原点，∵，
∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).
∴M(0，20).
又∵，
∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，
∴N(9，2)，∴=(9，-18).
8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
【答案】.
【解析】
可设与夹角为，则据题意得出为锐角，且，从而根据的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出的范围．
【详解】
解：，
的夹角为锐角，设的夹角为，则：，
，
又；
，
，
，
，
，
与夹角的取值范围为．
9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；
（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证
【详解】
（1）证明：
若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故
10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，，利用坐标公式求得数量积即可.
（2）设点坐标为，求得，利用三角函数的最值求得数量积的最值.
【详解】
解：（1），，
.
（2）点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，
设点坐标为，
又，，
，
又 ，则
，
故当时，有最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．-3B．-2
C．2D．3
【答案】C
【解析】
由，，得，则，．故选C．
2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)，则m=_________.
【答案】-1.
【解析】
∵a=(1,0),b=(−1,m)，
∴ma−b=(m,0)−(−1,m)=(m+1,−m)，
由a⊥(ma−b)得：a⋅(ma−b)=0，
∴a⋅(ma−b)=m+1=0，
即m=−1.
6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【解析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
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