高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用专题练习（学生版+解析），共36页。试卷主要包含了【多选题】，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）函数的周期､振幅､初相分别是（ ）
A．，2，B．，，
C．，2，D．，2，
2．（2021·江西新余市·高一期末（理））函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
A．向右移个单位长度
B．向右移个单位长度
C．向左移个单位长度
D．向左移个单位长度
3．（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为B．C．舒张压为D．
4．（2022·河南高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
5.（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
6．（2018·天津高考真题（文））将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[−π4,π4] 上单调递增 B．在区间[−π4,0] 上单调递减
C．在区间[π4,π2] 上单调递增 D．在区间[π2,π] 上单调递减
7．（2019·天津高考真题（文理））已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A．B．C．D．
8.（2021·兰州市第二中学高三月考（文））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）

A．B．
C．D．
9.【多选题】（2021·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
10．【多选题】（2021·福建高三三模）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ）
A．对一切恒成立
B．在区间上不单调
C．在区间上恰有1个零点
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·福建师大附中高三其他模拟）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为
B．是的一个单调递增区间
C．对任意，点都是图象的对称中心
D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到
2.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称
B．当时，函数的最小值为
C．若，则的值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
3．【多选题】（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．点是的一个对称中心点
B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到
C．在上单调递增
D．是方程的两个解，则
4．（2021·北京石景山区·高一期末）设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．
5．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）已知平面单位向量，满足，，记为向量与的夹角，则的最小值是______．
6．（2021·浙江高二期末）将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为________．
7．（2017·浙江高考真题）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
8．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
9．（2021·天津高二期末）已知函数，
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.
10．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数，．
(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
3.（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
4．（2020·江苏省高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
5. （2017·北京高考真题（文））已知函数f(x)=3cs(2x−π3)−2sinxcsx.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当x∈[−π4,π4]时，fx≥−12．
6.（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
练基础
1．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）函数的周期､振幅､初相分别是（ ）
A．，2，B．，，
C．，2，D．，2，
【答案】C
【解析】
根据三角函数的特征即可得出选项.
【详解】
由，
则，振幅为，
当时，，即初相为.
故选：C
2．（2021·江西新余市·高一期末（理））函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
A．向右移个单位长度
B．向右移个单位长度
C．向左移个单位长度
D．向左移个单位长度
【答案】A
【解析】
由图中最低点纵坐标得到振幅A,利用相邻零点的距离等于四分之一周期，得到ω，由五点作图法对应的最高点的相位求得初相φ的值，得到函数的解析式，进而利用平移变换法则得到答案.
【详解】
由函数图象可得，则，可得.
再由五点作图法可得，得，故函数的解析式为.
由，
故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
故选:A.
3．（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为B．C．舒张压为D．
【答案】B
【解析】
通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，，利用周期公式求出得解．
【详解】
由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；
周期，知，所以选项B错误；
由题得，所以所以选项D正确.
故选：B
4．（2022·河南高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
化简函数的解析式为，根据三角函数的图象变换，求得平移后的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象的解析式为：
，
令，解得，
当时，可得，所以函数的一个对称中心为.
故选：C.
5.（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
6．（2018·天津高考真题（文））将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[−π4,π4] 上单调递增 B．在区间[−π4,0] 上单调递减
C．在区间[π4,π2] 上单调递增 D．在区间[π2,π] 上单调递减
【答案】A
【解析】
由函数y=sin2x+π5的图象平移变换的性质可知：
将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：
y=sin2x−π10+π5=sin2x.
则函数的单调递增区间满足：2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2k∈Z，
即kπ−π4≤x≤kπ+π4k∈Z，
令k=0可得函数的一个单调递增区间为−π4,π4，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2k∈Z，
即kπ+π4≤x≤kπ+3π4k∈Z，
令k=0可得函数的一个单调递减区间为π4,3π4，选项C，D错误；
本题选择A选项.
7．（2019·天津高考真题（文理））已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C.
8.（2021·兰州市第二中学高三月考（文））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
有题意设，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果.
【详解】
设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，
周期为120s，，
最高点的纵坐标为，
最低点的纵坐标为，
所以，
当t=0时，H=0，，
所以.
故选：A.
9.【多选题】（2021·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
【答案】ABD
【解析】
由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解．
【详解】
解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，
则，故B正确；
振幅A为筒车的半径，即，故A正确；
由题意，t=0时，d=0，，即 ，
，∴，故C错误；
，
由d=6，得，
得
∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．
故选：ABD．
10．【多选题】（2021·福建高三三模）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ）
A．对一切恒成立
B．在区间上不单调
C．在区间上恰有1个零点
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称
【答案】AB
【解析】
由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论.
【详解】
解：∵函数的最小正周期为，∴，.
令，求得为最大值，故有对一切恒成立，故A正确；
在区间上，，函数没有单调性，故B正确；
在区间上，，函数有2个零点，故C错误；
将函数的图像向左平移个单位长度，所得的图像关于不原点对称，故D错误，
故选：AB.
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·福建师大附中高三其他模拟）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为
B．是的一个单调递增区间
C．对任意，点都是图象的对称中心
D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到
【答案】BC
【解析】
首先求出函数的周期，再根据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；
因为，所以，所以，因为
所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；
令，，解得，，所以函数的对称中心为，，故C正确；
将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；
故选：BC
2.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称
B．当时，函数的最小值为
C．若，则的值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
【答案】BD
【解析】
由题知：函数的最大值为，所以.
因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以，，，.
又因为的图像关于点对称，
所以，，.
所以，.因为，所以.
即.
对选项A，，故A错误.
对选项B，，，
当时，取得最小值， 故B正确.
对选项C，，
得到.
因为，
故C错误.
对选项D，
的图像向右平移个单位得到
，
故D正确.
故选：BD
3．【多选题】（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．点是的一个对称中心点
B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到
C．在上单调递增
D．是方程的两个解，则
【答案】BCD
【解析】
首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即，然后根据三角函数的性质进行判断.
【详解】

对于A：令，解得，
当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；
对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；
对于C：当时，，而函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；
对于D：令，解得或，
即或，所以，故D错误.
故选：BCD.
4．（2021·北京石景山区·高一期末）设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．
【答案】①③
【解析】
利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.
【详解】
由题设，且，
∵对一切恒成立，
∴，即，则,
①，正确；
②，而，所以，错误；
③，故，即是非奇非偶函数，正确；
④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；
故答案为：①③
5．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）已知平面单位向量，满足，，记为向量与的夹角，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
设，，，由可得点在直线上运动，由可得点在直线上运动，即点是与的交点，然后过点 作交于点，可得，然后向量与的夹角为角，在中，由正弦定理可得，然后利用三角函数的单调性可求出答案.
【详解】
如图所示，设，，
因为，所以
所以点在直线上运动，
又因为，所以点在直线上运动，
故点是与的交点．
利用相似可知，过点 作交于点
所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
又因为向量与的夹角为角，
在中，，由正弦定理可得
所以
因为与都单调递增，
所以当时最大，此时，
所以的最大值为
6．（2021·浙江高二期末）将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为________．
【答案】
【解析】
利用三角函数图象的平移可得第一空，通过解析式画出函数的图象，结合条件“对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得”，求出的取值范围，进而确定的最小值．
【详解】
函数的图像向右平移个单位得到，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则．
画出其图象如图，
由图可知，对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，的取值范围为．
所以的最小值为．
故答案为：；．
7．（2017·浙江高考真题）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， .
【解析】
（Ⅰ）由， ，
．
得．
（Ⅱ）由与得
．
．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以， 的单调递增区间是．
8．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【解析】
（1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；
（2）由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.
【详解】
（1）
由图象可知，，
则有
又因为时取最大值6.5，可得，
所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.
令，
得
得，
即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
9．（2021·天津高二期末）已知函数，
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.
【详解】
（1）因为，即，所以函数的定义域
所以函数的最小正周期，
（2）因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
所以，
因为又向右平移()个单位长度，
所以，
又因为平移后函数的图象关于轴对称，所以，
即，所以当时，取得最小值，此时，
所以取得最小值为.
10．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数，．
(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．
【解析】
(1) 把函数通过图像变换变为，然后根据已知单调区间求的最大值；
(2) 利用函数()和()的图象进行分类讨论来解决函数零点问题.
【详解】
(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，
因为，所以，
因为，所以，
又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，
所以的最大值为.
(2) ，
令，
因为，所以，，
所以，，
令，显然不是其方程的解，所以得，，
画出函数和函数的图象，如下图，
则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；
当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；
当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；
当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意；
当时，令，得或 ，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；
当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；
故的取值范围为.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【解析】
首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
3.（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
4．（2020·江苏省高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】
当时
故答案为：
5. （2017·北京高考真题（文））已知函数f(x)=3cs(2x−π3)−2sinxcsx.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当x∈[−π4,π4]时，fx≥−12．
【答案】（1）T=2π2=π（2）见解析
【解析】
（Ⅰ）f(x)=32cs2x+32sin2x−sin2x=12sin2x+32cs2x=sin(2x+π3).
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）因为−π4≤x≤π4，
所以−π6≤2x+π3≤5π6.
所以sin(2x+π3)≥sin(−π6)=−12.
所以当x∈[−π4,π4]时，f(x)≥−12.
6.（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
时刻
0：00
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21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
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2.5
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