新高考数学专题复习专题08圆锥曲线中的离心率的问题专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题08圆锥曲线中的离心率的问题专题练习(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了题型选讲，求离心率的范围， 由离心率求参数的范围等内容，欢迎下载使用。
题型一 、求离心率的值
求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2D．
例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（ ）
A．B．
C．D．
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型二、求离心率的范围
求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．B．
C．D．
例8、(2018苏中三市、苏北四市三调）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
= 1 \* GB3 ① 求椭圆的方程；
（2）若在轴上方存在两点，使
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
例9、(2017扬州期末）如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→)).
(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；
(2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．
题型三、 由离心率求参数的范围
由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。
例10、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→)).
(1) 若点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
(2) 若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求实数λ的取值范围．
二、达标训练
1、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（ ）
A．B．C．或D．
5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）
A．B．C．D．
6、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加个单位长度（），得到椭圆和双曲线．记椭圆和双曲线的离心率分别是，则（ ）
A．，B．，与的大小关系不确定
C．，D．，与的大小关系不确定
8、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
9、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
10、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
专题08 圆锥曲线中的离心率的问题
一、题型选讲
题型一 、求离心率的值
求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C.
例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设渐近线方程，即，与圆：相切，
圆心到直线的距离，，
所以.
故选：B
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，
所以，的周长为，
当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，
是的中点，
又，
,
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，
中，，
整理为： ，
即 ，
解得： ，或（舍）
故选：C
例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，
所以该条渐近线方程为；
所以，
解得；
所以 ，
所以双曲线的离心率为．
故选：A．
题型二、求离心率的范围
求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可得，若，
即，左支上的点均满足，
如图所示，当点位于点时，最小，
故，即,
,
或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .
例8、(2018苏中三市、苏北四市三调）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
= 1 \* GB3 ① 求椭圆的方程；
（2）若在轴上方存在两点，使
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c，
由题意，得 所以．所以椭圆的方程为．
②由①得，焦点，准线为，

（2）解法1 设，，
因为FP⊥FQ，
则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆．
由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以
消去得，
所以，
因为点P，Q均在x轴上方，所以，即，
所以，又因为，
所以．
解法2 因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，
所以圆心必为PQ中点M，
又圆心在弦OF的中垂线上，
所以圆心M 的横坐标为，
所以点Q的横坐标为．（以下同方法1）
例9、(2017扬州期末）如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→)).
(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；
(2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．
规范解答 (1) 由P在圆O：x2＋y2＝b2上，得b＝3.
又点Q在椭圆C上，得eq \f(－42,a2)＋eq \f(－12,32)＝1，解得a2＝18，
所以椭圆C的方程是eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.(5分)
(2) 解法1 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,x2＋y2＝b2，))得x＝0或xP＝－eq \f(2kb,1＋k2).(7分)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x＝0或xQ＝－eq \f(2kba2,a2k2＋b2).(9分)
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，λ＝3，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AQ,\s\up6(→))，
所以eq \f(2kba2,a2k2＋b2)·eq \f(3,4)＝eq \f(2kb,1＋k2)，即eq \f(a2,a2k2＋b2)·eq \f(3,4)＝eq \f(1,1＋k2)，所以k2＝eq \f(3a2－4b2,a2)＝4e2－1.
因为k2＞0，所以4e2＞1，即e＞eq \f(1,2)，又0＜e＜1，所以eq \f(1,2)＜e＜1.(16分)
解法2 A(0，b)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝b2 ①，eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1 ②.(7分)
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，λ＝3，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AQ,\s\up6(→))，即(x1，y1－b)＝eq \f(3,4)(x2，y2－b)．解得x2＝eq \f(4,3)x1，y2＝eq \f(4,3)y1－eq \f(1,3)b，代入②得eq \f(16x\\al(2,1),9a2)＋eq \f(16y\\al(2,1)－8by1＋b2,9b2)＝1.(9分)
又xeq \\al(2,1)＝b2－yeq \\al(2,1)，消去xeq \\al(2,1)整理得2(a2－b2)yeq \\al(2,1)－a2by1－b2(a2－2b2)＝0，
即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝eq \f(b2b2－a2,2a2－b2)或y1＝b(舍去)，因为－b＜y1＜b，所以－b＜eq \f(b2b2－a2,2a2－b2)＜b，解得eq \f(b2,a2)＜eq \f(3,4).(14分)
而e2＝1－eq \f(b2,a2)＞1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，即e＞eq \f(1,2)，又0＜e＜1，所以eq \f(1,2)＜e＜1.(16分)
解后反思 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．
题型三、 由离心率求参数的范围
由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。
例10、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→)).
(1) 若点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
(2) 若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求实数λ的取值范围．
思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a，b的值，为此，要找到两个关于a，b的方程，根据点P在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF2Q的周长为4a，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e的关系，根据PF2⊥x轴，可得点P的坐标，根据条件eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→))可求得点Q的坐标，利用点Q在椭圆上，得到λ与a，b，c的关系，进而求得λ与e的关系，利用这一关系，求出λ的范围．
规范解答 (1) 因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，
从而△PQF2的周长为4a，
由题意得4a＝8，解得a＝2.(2分)
因为点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1，解得b2＝3.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(5分)
(2) 解法1 因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，y0＞0，Q(x1，y1)．
因为点P在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
解得y0＝eq \f(b2,a)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))).(7分)
因为F1(－c,0)，所以eq \(PF1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，－\f(b2,a)))，eq \(F1Q,\s\up6(→))＝(x1＋c，y1)．
由eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→))，得－2c＝λ(x1＋c)，－eq \f(b2,a)＝λy1，解得x1＝－eq \f(λ＋2,λ)c，y1＝－eq \f(b2,λa)，所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(λ＋2,λ)c，－\f(b2,λa))).(11分)
因为点Q在椭圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ＋2,λ)))2e2＋eq \f(b2,λ2a2)＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.
因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，
从而λ＝eq \f(3e2＋1,1－e2)＝eq \f(4,1－e2)－3.(14分)
因为e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq \f(1,4)≤e2≤eq \f(1,2)，即eq \f(7,3)≤λ≤5.
所以λ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，5)).(16分)
解法2 由于PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.
因为点P在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq \f(b2,a)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))).(7分)
因为F1(－c,0)，所以直线PF1的方程为y＝eq \f(b2,2ac)(x＋c)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b2,2ac)x＋c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－eq \f(2b2c,4c2＋b2)，(11分)
因为eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(－2c,c＋x1)＝eq \f(4c2＋b2,b2)＝eq \f(3c2＋a2,a2－c2)＝eq \f(3e2＋1,1－e2)＝eq \f(4,1－e2)－3.(14分)
以下同解法1.
解后反思 本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率e的范围，因此我们可以把λ表示为e的函数，为此先求得点P的坐标(这里点P是确定的，否则设出点P的坐标)，由向量的运算求得点Q的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a，b，c的等式，利用e＝eq \f(c,a)，a2＝b2＋c2可化此等式为关于e，λ的方程，解出λ，即把λ表示为e的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．
二、达标训练
1、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题,离心率,解得,
因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即
故选：C
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
【答案】
【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，
∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，
∴双曲线的离心率为e．
故答案为：．
3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线为，
.
故选:A.
5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的两焦点之间的距离为10，所以，所以，所以.所以离心率.故选C.
6、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，
又渐近线方程为，
∴，
∴.
∴离心率．
故选B．
7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加个单位长度（），得到椭圆和双曲线．记椭圆和双曲线的离心率分别是，则（ ）
A．，B．，与的大小关系不确定
C．，D．，与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】设，则，
，
因为，由比例性质可知，所以；
，
，
因为与1的大小不确定，所以和的大小也不确定，
即无法判断，，大小.
综上，，与的大小关系不确定.
故选：B.
8、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
【答案】．
【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，
由及椭圆定义知，
由余弦定理即可得，，即，化简得，
故或3（舍）
即．
故答案为：
9、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
【答案】
【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，
所以．
将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，
整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，
由韦达定理解得，，
三式联立，可解得离心率．故答案为：．
10、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.故答案为：.