新高考数学专题复习专题42圆锥曲线中的向量问题专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题42圆锥曲线中的向量问题专题练习(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了题型选讲，求向量数量积的范围，与向量有关的其它应用等内容，欢迎下载使用。
一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，直线x−22y=0与C相交于A、B两点.若AF⋅BF=0，则椭圆C的离心率为______.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的取值范围．
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－eq \r(2)的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值．
题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范围．
例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
题型三、与向量有关的其它应用
例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
例10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
二、达标训练
1、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则的离心率为___________.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________.
4、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,b2)＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求eq \f(AT·BT,MN2)的值；
(3) 记直线l与y轴的交点为P，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
7、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
专题42 圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.
故答案为：.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
【答案】
【解析】因为直线过点，且斜率为
所以直线的方程为：
与双曲线联立消去，得
设
所以
因为，可得
代入上式得
消去并化简整理得：
将代入化简得：
解之得
因此，该双曲线的离心率
故答案为：
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，直线x−22y=0与C相交于A、B两点.若AF⋅BF=0，则椭圆C的离心率为______.
【答案】32
【解析】设A22y0,y0，∵AF⋅BF=0，即AF⊥BF，∴OF=OA，则8y02+y02=c2，即9y02=c2①，又8y02a2+y02b2=1，∴y02=a2b28b2+a2②，
由①②得8c4−18a2c2+9a4=0，即8e4−18e2+9=0，e2=34或e2=32（舍去），解得e=32.
故答案为：32.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，
则，

在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，
则.
所以直线
设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由得，此方程无解；
由得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或.
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的取值范围．
【解析】(1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(eq \r(3)，0)，
当直线PM过椭圆的右焦点F时，
则直线PM的方程为eq \f(x,\r(3))＋eq \f(y,－1)＝1，即y＝eq \f(\r(3),3)x－1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8\r(3),7)，,y＝\f(1,7)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1))(舍)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),7)，\f(1,7))).(2分)
连结BF，则直线BF：eq \f(x,\r(3))＋eq \f(y,1)＝1，即x＋eq \r(3)y－eq \r(3)＝0，
而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),7)＋\r(3)×\f(1,7)－\r(3))),\r(12＋（\r(3)）2))＝eq \f(\f(2\r(3),7),2)＝eq \f(\r(3),7).
故S△MBF＝eq \f(1,2)·BF·d＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),7)＝eq \f(\r(3),7).(4分)
(2) 解法1(点P为主动点) ①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝eq \f(－1－（－2）,0－m)＝－eq \f(1,m)，
则直线PM的方程为y＝－eq \f(1,m)x－1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,m)x－1，,\f(x2,4)＋y2＝1))化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,m2)))x2＋eq \f(8,m)x＝0，
解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8m,m2＋4)，\f(4－m2,m2＋4)))，(6分)
所以k1＝eq \f(\f(4－m2,m2＋4)－1,－\f(8m,m2＋4))＝eq \f(－2m2,－8m)＝eq \f(1,4)m，k2＝eq \f(1－（－2）,0－m)＝－eq \f(3,m)，(8分)
所以k1·k2＝－eq \f(3,m)·eq \f(1,4)m＝－eq \f(3,4)为定值．(10分)
②由①知，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－m，3)，eq \(PM,\s\up6(→))＝(－eq \f(8m,m2＋4)－m，eq \f(4－m2,m2＋4)＋2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－m3－12m,m2＋4)，\f(m2＋12,m2＋4)))，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝(－m，3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－m3－12m,m2＋4)，\f(m2＋12,m2＋4)))＝eq \f(m4＋15m2＋36,m2＋4)，(12分)
令m2＋4＝t>4，故eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(（t－4）2＋15（t－4）＋36,t)＝eq \f(t2＋7t－8,t)＝t－eq \f(8,t)＋7，(14分)
因为y＝t－eq \f(8,t)＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝t－eq \f(8,t)＋7>4－eq \f(8,4)＋7＝9，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
解法2(点M为主动点) ①设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝eq \f(y0＋1,x0)x－1，
令y＝－2，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x0,y0＋1)，－2)).(6分)
所以k1＝eq \f(y0－1,x0)，k2＝eq \f(－2－1,－\f(x0,y0＋1))＝eq \f(3（y0＋1）,x0)，(8分)
所以k1·k2＝eq \f(y0－1,x0)·eq \f(3（y0＋1）,x0)＝eq \f(3（yeq \\al(2,0)－1）,xeq \\al(2,0))＝eq \f(3（yeq \\al(2,0)－1）,4（1－yeq \\al(2,0)）)＝－eq \f(3,4)(定值)．(10分)
②由①知，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0＋1)，3))，
eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(x0,y0＋1)，y0＋2))，(12分)
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(x0,y0＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(x0,y0＋1)))＋3(y0＋2)＝eq \f(xeq \\al(2,0)（y0＋2）,（y0＋1）2)＋3(y0＋2)＝eq \f(4（1－yeq \\al(2,0)）（y0＋2）,（y0＋1）2)＋3(y0＋2)＝eq \f(（7－y0）（y0＋2）,y0＋1).(14分)
令t＝y0＋1∈(0，2)，
则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(（8－t）（t＋1）,t)＝－t＋eq \f(8,t)＋7，
因为y＝－t＋eq \f(8,t)＋7在t∈(0，2)上单调递减，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝－t＋eq \f(8,t)＋7>－2＋eq \f(8,2)＋7＝9，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－eq \r(2)的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值．
【解析】 (1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－eq \f(b,c).(2分)
因为在y轴上截距为3－eq \r(2)的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－eq \f(b,c)x＋3－eq \r(2)，即bx＋cy＋(eq \r(2)－3)c＝0.(4分)
因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以eq \f(|\r(2)c|,\r(b2＋c2))＝1，即eq \f(\r(2)c,a)＝1，所以e＝eq \f(\r(2),2).(6分)
(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，eq \f(\r(2)c,a)＝1，所以a＝eq \r(2)c,2c2＝b2＋c2.(8分)
所以c＝b＝4，a＝4eq \r(2)，所以椭圆方程是eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1.(10分)
设P(x，y)，则
eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PC2,\s\up6(→))＋eq \(C2M,\s\up6(→)))·(eq \(PC2,\s\up6(→))＋eq \(C2N,\s\up6(→)))
＝(eq \(PC2,\s\up6(→)))2＋eq \(PC2,\s\up6(→))·(eq \(C2M,\s\up6(→))＋eq \(C2N,\s\up6(→)))＋eq \(C2M,\s\up6(→))·eq \(C2N,\s\up6(→))
＝(eq \(PC2,\s\up6(→)))2＋eq \(C2M,\s\up6(→))·eq \(C2N,\s\up6(→))
＝x2＋(y－3)2－1
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,16)))＋(y－3)2－1
＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值是49.(16分)
题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范围．
【解析】 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,2a＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝1，,a＝2，))所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆M的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分)
解法1(点参数法) (1)设P(x0，y0)，kPA＝eq \f(y0,x0＋2)，因为l1⊥PA，所以直线AC的方程为y＝－eq \f(x0＋2,y0)(x＋2)．
同理直线BC的方程为y＝－eq \f(x0－2,y0)(x－2)．
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(x0＋2,y0)（x＋2），,y＝－\f(x0－2,y0)（x－2），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－x0，,y＝\f(xeq \\al(2,0)－4,y0))).
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故eq \f(xeq \\al(2,0),4)＋eq \f(yeq \\al(2,0),3)＝1，所以eq \f(xeq \\al(2,0)－4,y0)＝eq \f(4－\f(4,3)yeq \\al(2,0)－4,y0)＝－eq \f(4,3)y0，
所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x0，－\f(4,3)y0)).(6分)
因为点C的横坐标为－1，所以x0＝1.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0＝eq \f(3,2)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).(8分)
(2)解法1 设Q(xQ，yQ)，因为eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x0＋2＝λ（xQ＋2），,－\f(4,3)y0＝λyQ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xQ＝－\f(x0,λ)＋\f(2,λ)－2，,yQ＝－\f(4,3λ)y0.))
因为点Q在椭圆M上，所以eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x0,λ)＋\f(2,λ)－2))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3λ)y0))eq \s\up12(2)＝1.
又yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(xeq \\al(2,0),4)))，整理得7xeq \\al(2,0)－36(λ－1)x0＋72λ－100＝0，解得x0＝2或x0＝eq \f(36λ－50,7).(14分)
因为P为椭圆M上第一象限内一点 所以0