新高考数学专题复习专题11圆锥曲线中的定点、定值问题专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题11圆锥曲线中的定点、定值问题专题练习(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了题型选讲，圆锥曲线中定值问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
题型二、圆锥曲线中定值问题
圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为eq \r(2)∶1，离心率相同．
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设点P为椭圆C2上的一点．
①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：eq \f(PA,PB)为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．
二、达标训练
1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，焦点到相应准线的距离为eq \f(\r(3),3).
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：eq \f(PA·PB,PC·PD)为定值．
4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－eq \f(6,5)，0).设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.
(1) 求k1k2的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.
专题11 圆锥曲线中的定点、定值问题
一、题型选讲
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30)，C2与C1的长轴长之比为eq \r(2)∶1，离心率相同．
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设点P为椭圆C2上的一点．
①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：eq \f(PA,PB)为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．
.eq \a\vs4\al(思路分析) (1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程．
(2)①对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出eq \f(PA,PB)的表达式，化简整理得到定值．
②设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq \\al(2,0)－1＝0，同理得到(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq \\al(2,0)－1＝0，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．
(1) 规范解答 设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，a2＝b2＋c2，解得b＝eq \r(2)，因此椭圆C2的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.(3分)
(2)①1°当直线OP斜率不存在时，
PA＝eq \r(2)－1，PB＝eq \r(2)＋1，则eq \f(PA,PB)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2).(4分)
2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，
所以xeq \\al(2,A)＝eq \f(4,4k2＋1)，同理xeq \\al(2,P)＝eq \f(8,4k2＋1).(6分)
所以xeq \\al(2,P)＝2xeq \\al(2,A)，由题意，xP与xA同号，所以xP＝eq \r(2)xA，
从而eq \f(PA,PB)＝eq \f(|xP－xA|,|xP－xB|)＝eq \f(|xP－xA|,|xP＋xA|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2).
所以eq \f(PA,PB)＝3－2eq \r(2)为定值．(8分)
②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，
记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，
代入椭圆C1的方程，消去y，得(4keq \\al(2,1)＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，
因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，
所以Δ＝(8k1t)2－4(4keq \\al(2,1)＋1)(4t2－4)＝0，即4keq \\al(2,1)－t2＋1＝0，
将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq \\al(2,0)－1＝0，(12分)
同理可得，(xeq \\al(2,0)－4)keq \\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq \\al(2,0)－1＝0，
所以k1，k2为关于k的方程(xeq \\al(2,0)－4)k2－2x0y0k＋yeq \\al(2,0)－1＝0的两根，从而k1·k2＝eq \f(yeq \\al(2,0)－1,xeq \\al(2,0)－4).(14
又点在P(x0，y0)椭圆C2：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1上，所以yeq \\al(2,0)＝2－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)，所以k1·k2＝eq \f(2－\f(1,4)xeq \\al(2,0)－1,xeq \\al(2,0)－4)＝－eq \f(1,4)为定值．(16分)
二、达标训练
1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
【答案】(I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析.
【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k