山东省菏泽市第一中学（八一路校区）2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份山东省菏泽市第一中学（八一路校区）2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，是椭圆的左焦点，则（ ）
A．35B．30C．25D．20
4．方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A．B．C．D．
5．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
6．已知、两点坐标分别，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（ ）
A．25B．C．12D．24
8．下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
10．关于方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
D．若，，则该方程表示两条直线
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．点关于直线的对称点为
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为120°
三、填空题
12．过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为___________.
13．求由曲线围成的图形的面积___________.
14．已知圆，直线，，则下列结论：
①直线恒过定点；
②当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1；
③圆与曲线恰有三条公切线，则；
④当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点.
其中所有正确的有___________.
四、解答题
15．已知直线.
（1）求证：直线经过一个定点；
（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程.
17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标.
（2）求直线的方程.
18．已知点是圆上任意一点.
（1）求点到直线的距离的最大值和最小值.
（2）求的最大值和最小值.
（3）求的最大值和最小值.
19．已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作圆两条切线，切点分别为，，求的值.
菏泽一中八一路高二上学期第一次月考
数学试题答案
1．C设的倾斜角为，由题意可知：直线的斜率，及，且，所以，故选：C.
2．设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，故选：D.
3．设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，.故选A.
4．B由题意整理可得：，
则，解得，
且圆的半径，
当且仅当时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.故选：B.
5．C直线的方程可化为，
联立，解得，所以直线经过定点，
当时，点到直线的距离最大，最大距离为，
因为直线的斜率，，所以直线的斜率，
所以，所以，
所以，故，所以直线的方程为，故选：C.
6．A设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
依据题意可知，，化简得：，
因为直线、的斜率存在，所以，所以，
故选：A
7．A由椭圆，可得，，所以，
所以，.在中，由正弦定理可得，故选：A
8．B根据题意可知，，
如图，设公切线与圆，圆分别相切于第一象限的，两点，与轴相交于点，
由几何关系可知，，，，
所以，，，，的斜率为，
则的方程为，即，
根据对称可得出另一条公切线方程为.
故选：B.
9．BD若，则和平行，满足题意：
若，则，解得，即的值为0，，故选：BD.
10．ACD对于A，若，则可化为，
因为，所以，即该方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；对于C，，则可化为，由于，所以，故该方程表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若，，则可化为，即，
此时该方程表示平行于轴的两条直线，故D正确.故选：ACD.
11．ABD对A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确；
对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，
可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，故直线方程为，
即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，
又因为，故，故D正确，故选：ABD.
12．或
由曲线知，该曲线为圆且圆心为，半径为.
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即
圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时
根据垂径定理可得，，解得
此时直线方程为.故答案为：或.
13．解：当，时，，表示的图形占整个图形的，
而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆
故围成的图形的面积为：
14．③④对于①，直线，整理得
，所以，得，所以直线恒过定点，所以①错误，对于②，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，所以②错误，对于③，当时，曲线为，整理得，则圆心为，半径为3，圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，所以两圆相外切，所以两圆恰有3条公切线，所以③正确，对于④，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即，因为圆，所以两圆的公共弦的方程为，
整理得，所以，得，
所以直线经过点，所以④正确，故答案为：③④.
15．（1）证明见解析；（2）的最小值为16，直线的方程为
（1）直线，可化为故直线过定点.
（2）由（1）得直线过定点，
又直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，则，
令，得，所以，令得，所以，
所以，
（当且仅当即时等号成立），此时直线的方程是即
16．（1）（2）
（1）由题意可设圆的圆心为，圆与直线相切，且过点，
，解得：，圆心，
半径，圆的方程为：.
（2）设圆心关于直线对称的点为，
则，解得，即，
圆关于直线对称的圆的方程为：.
17．（1），（2）
（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程；，
即与联立，
解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
，解得：，，
的方程为：，即.
18．（1）圆心到直线的距离为.
点到直线的距离的最大值为，最小值为.
（2）解法一：设，则直线与圆有公共点，
，解得，则，，即的最大值为，最小值为.
解法二：设，，则，其中，得，即的最大值为，最小值为.
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为，
设，即，直线与圆有交点，
设，解得.
则，，即的最大值为，最小值为.
19．【详解】（1）设椭圆左焦点为，则，
又，则，又，
则，则，
故，，，则椭圆方程为.
（2），则，代入椭圆得，故，，
又过做圆两条切线，切点分别为，，则，，
设，，.