精品解析：山东省菏泽第一中学八一路校区2023-2024学年高三下学期三月份月考数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设复数，根据题意，列出方程求得，进而求得复数的虚部，得到答案.
【详解】设复数，
因为，可得，可得，
解得，所以复数的虚部为.
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
【详解】由，得，
.
故选：B.
3. 已知向量，，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件可得向量的夹角为，，再利用数量积运算可得解.
【详解】由，可得向量的夹角为，
，
.
故选：C.
4. 的展开式中的系数是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
故的展开式中的系数为：
，即.
故选：D.
5. 如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解.
【详解】如图所示，因为点到点的距离相等，
可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，
又因为，直线与平面所成角为，
取的中点，可得，则线段的最小值为.
故选：A.
6. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式恒成立，且，
分离参数得，所以，即，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
所以.
故选：C.
7. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.
【详解】设甲第局胜，，2，3，且，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：B．
8. 已知，则的大关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 若，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，得到期望为，方差为，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得期望为，方差为，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；
对于B中，因为，即，所以B不正确；
对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；
对于D中，由正态分布曲线性质，可得，
且，
可得，所以D正确.
故选：ACD.
10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. 项系数为280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．
【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的常数项为，故B正确，
选项C：令，则所有项的系数和为，故C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确，
故选：BCD．
11. 用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ）
A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C. 所得椭圆的离心率
D. 其中为椭圆长轴，为球半径，有
【答案】ABC
【解析】
【分析】过点作线段，分别与球、切于点、，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得A、B，借助离心率的定义可得C，借助正切函数的定义可得D.
【详解】
对A，B：过点作线段，分别与球、切于点、，
由图可知，、分别与球、切于点、，
故有，
由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故B正确，
由与球切于点，故，
有，
即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确；
对C:由题意可得，则，故C正确；
对D：由题意可得，，
故，即，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于作出线段，从而可结合球的切线的性质与椭圆定义逐项判断.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得数列为等差数列，根据，可得，结合，求得，得解.
【详解】为等差数列，所以设，为常数，
，，当时，，
，则（常数）.
数列为等差数列，
，，
所以，即，即，
则，
，，，
经检验可得，
则，，
，
.
故答案为：.
13. 设向量，且，则_____，和所成角为__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将化简变形，并将坐标代入求出，根据判断两个向量夹角为直角．
【详解】因为，所以，
化简整理得，所以，所以．
因为，所以和所成角为．
故答案为：；.
14. 已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且与轴垂直的直线与交于点，且，则该双曲线离心率的取值范围是_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意画出图形，求得，再由求得的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．
【详解】设双曲线的焦距为，
如图，

由题意，，，
则．
由，得，
即．
．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果及条件，求得，，再利用正弦定理即可求出结果.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得：，
又，，，所以.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
又，所以，
所以
，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，得到，
所以.
16. 如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由几何关系证明四边形是等腰梯形，再由长度关系得到四边形是平行四边形，最后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建系，利用线面角求出点坐标，再分别求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式即可求解.
【小问1详解】
证明：连接与交于点，连接，
，，
，，即 ，
又，则，
，，所以四边形是等腰梯形，
且，
，所以四边形是平行四边形，
又面，面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面平面，且四边形是矩形，为两平面的交线，，
所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
由与平面所成角为，易知面可得，
所以，
因为等腰三角形，且，
所以点的横坐标长度为，纵坐标长度为，
，
则， ，
，，
设平面的法向量为，则，
取，，
设平面的法向量为，
则，
取，，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17. 已知数列前项和为，，当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据和的关系，分和两种情况讨论求解即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
由题意，当时，，且，
若，则，即，
当时，，
两式相减得，，
整理得，即，
所以.
综上所述，.
【小问2详解】
因为，
设数列的前项和为，
当时，，
当时，
，
此时时适合上式，
所以.
18. 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
（1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
（2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ，
若，则.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可；
（2）利用最小二乘法的计算公式求值即可.
【小问1详解】
易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
【小问2详解】
因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即
19. 已知函数.
（1）若，求证：当时，
（2）若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解.
【小问1详解】
时，
则，故在单调递减，
故，故时，，
【小问2详解】
（i），
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于故，
因此，
故.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
2520
30.08