山东省菏泽第一中学八一路校区2023-2024学年高三下学期三月份月考数学试题

这是一份山东省菏泽第一中学八一路校区2023-2024学年高三下学期三月份月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i.为虚数单位，复数z满足z+2i=z，则z的虚部为
( )
A. −1B. 1C. iD. −i
2.若tanα−π4=2，则sin2α=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
3.已知向量a，b，满足a=b=a−b，则a⋅(a+b)=( )
A. 12a2B. 12b2C. 12(a+b)2D. 12(a−b)2
4.x2+ax−1−1−x6的展开式中x2的系数是−2，则实数a的值为
( )
A. 0B. 3C. −1D. −2
5.如图，A是平面α内一定点，B是平面α外一定点，且AB=4 2，直线AB与平面α所成角为45°，设平面α内动点M到点AB的距离相等，则线段AM的长度的最小值为
( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 22
6.若对于任意正数xy，不等式x1+lnx≥xlny−ay恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A. 0,1eB. 1e3,1eC. 1e2,+∞D. 1e3,+∞
7.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为34、第二局获胜的概率为23，第三局获胜的概率为23，则甲恰好连胜两局的概率为
( )
A. 19B. 536C. 736D. 29
8.已知a=ln( 2e),b=e+1e,c=ln55+1，则a,b,c的大关系为
( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>b>cD. b>c>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若X∼N100,1.52，则下列说法正确的有
( )
A. PX<100=12
B. EX=1.5
C. PX<101.5=PX>98.5
D. P9710.(x+2x)7的展开式中，下列结论正确的是
( )
A. 展开式共7项B. x项系数为 280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
11.用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．下列结论中正确的有( )
A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O1O2相等
C. 所得椭圆的离心率e=csθ
D. 其中G1G2为椭圆长轴，R为球O1半径，有R=AG1⋅tanθ2
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在数列an中，a1,a11∈N+，数列an的前n和为Sn，Snn为等差数列，S14=77，则S100= ．
13.设向量a=1,2,b=m,1，且a+b=a−b，则m= _;a和b所成角为
14.已知F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与y=bax交于点A，且π6≤∠F1AF2≤π4，则该双曲线离心率的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面四边形ABCD中，AB= 5，AC=3，BC=2 2．
(1)求cs∠BCA的值；
(2)若cs∠BCD=−1213，cs∠ADC=− 215求AD的长．
16.(本小题15分)
如图所示，平面ACFE⊥平面ABCD，且四边形ACFE是矩形，在四边形ABCD中，∠ADC=120∘，2AB=2AD=2CD−BC=6．
(1)若EM=23EF，求证AM//平面BDF：
(2)若直线BF与平面ABCD所成角为π6，求平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，2Sn=n+1an−2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn=2anan+1，求数列bn的前n项和．
18.(本小题17分)
地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年−2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的x值为1，2020年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布X∼N8.57,0.822，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个，记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求Y=1的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为t=0.2x+2.2，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均GDP)u(万元)之间的线性回归方程u=bx+a．
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程y=bx+a中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：b^= ni=1 (xi−x)(yi−y) ni=1 (xi−x)2,a^=y−b^x，
若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤x≤μ+σ≈0.68,Pμ−2σ≤x≤μ+2σ≈0.95．
19.(本小题17分)
已知函数fx=alnx−x+1xa∈R．
(1)若a=2，求证：当x≥1时，fx≤0
(2)若fx有两个不同的极值点x1,x2x1(i)求a的取值范围；
(ii)求证：fx2<2 3．
菏泽一中八一路校区高三下学期三月份月考数学试题
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，由z+2i=z，得a+(b+2)i=a+bi，a2+(b+2)2=a2+b2，解得b=−1，∴z的虚部为−b=1
选：B
2.【答案】B
【解析】解：tanα−π4=tanα−11+tanα=2得tanα=−3，∴sin2α=2tanα1+tan2α=−35
选：B
3.【答案】C
【解析】解：由a=b=a−b得向量a,b的夹角为60°，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=32|a|2
12(a+b)2=12(a2+2a⋅b+b2)=32|a|2
选：C
4.【答案】D
【解析】解：x2C60+ax⋅C61−x+−1⋅C62−x2，所以x2的系数为1−6a−15=−2，所以a=−2
选：D
5.【答案】A
【解析】解：由题意得，动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面α的交线，可得线段AM的最小值为4 2× 22=4
选：A
6.【答案】C
【解析】解：参变分离得ay≥xlny−lnx−x，∴a≥xylny−lnx−xy，∴a≥xylnyx−xy
设t=yx，得a≥lnt−1t，t∈0,+∞，设g(x)=lnx−1x，x∈0,+∞，求导讨论单调性，可得a≥1e2
选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解．
【详解】设甲第i局胜，i=1，2，3，且P(A1)=14,P(A2)=13,P(A3)=13，
则甲恰好连胜两局的概率=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=14×13×(1−13)+(1−14)×13×13=536，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据a,b,c的特点，构造函数f(x)=lnxx，判断其单调性，得到f(x)max=f(e)=1e，故有f(e)>f(5),f(e)>f(2)，再运用作差法比较f(5),f(2)即得．
【详解】设f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)在(0,e)上递增；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)在(e,+∞)上递减，
故f(x)max=f(e)=1e．
则1e>ln55,1e>ln22，即b>c,b>a；
由ln55−ln22=2ln5−5ln210=ln253210<0可知ca>c．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】解：X∼N100,1.52可知期望为100，方差为1.52，
C选项PX<μ+σ=PX>μ−σ正确
D选项Pμ−2σ选：ACD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令x=1即可判断，选项 D：根据二项式系数和公式即可判断．
【详解】选项A：因为n=7，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的常数项为C73x42x3=35×8x=280x，故 B正确，
选项C：令x=1，则所有项的系数和为(1+2)7=2187，故 C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为27=128，故 D正确，
故选：BCD．
11.【答案】ABC
【解析】解：A选项易知正确
B选项，如图可知
G1F1=G1A,G1F2=G1D,∴G1A+G1D=G1F1+G1F2=a−c+a+c=2a
∴O1O2=AD=2a得证
C选项，▵OO1F1,OF1=c，OO1=a，∠O1OF1=θ得证
D选项，可知∠AO1F1=θ，∠AO1G1=θ2，▵O1AG1，tanθ2=AG1R，所以错误．
选：ABC
12.【答案】−3750
【解析】解：∵Snn为等差数列，∴数列an等差数列
∵S14=77，∴7a1+a14=7a4+a11=77
a14=11−a1a4=11−a11,∴a14−a1=11−2a1a11−a4=2a11−11，则d=11−a1−a113=a11−11−a117
∴7a1+13a11=110，∵a1,a11∈N+，经检验a1=12,a11=2
则d=a11−a110=−1，an=13−nSn=a1+an2⋅n=25−n⋅n2，∴S100=−3750
13.【答案】−2；
90∘
/π2
【解析】【分析】将a+b=a−b化简变形，并将坐标代入求出m，根据a•b=0判断两个向量夹角为直角．
【详解】因为a+b=a−b，.
所以a+b2=a−b2，所以a•b=0，所以1×m+2×1=0，
所以m=−2．
因为a•b=0所以a和b所成角为90∘．
故答案为：−2；90∘
14.【答案】[ 5, 13]
【解析】【分析】由题意画出图形，求得tan∠F1AF2=2ab，再由π6≤∠F1AF2≤π4求得ba的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．
【详解】设双曲线的焦距为2c，
如图，F1−c,0,F2c,0

由题意，A(c,bac)，|F1F2|=2c，
则tan∠F1AF2=|F1F2||AF2|=2cbac=2ab．
由π6≤∠F1AF2≤π4，得 33≤2ab≤1，
即2≤ba≤2 3．
∴e=ca= 1+(ba)2∈[ 5, 13]．
故答案为：[ 5, 13]
15.【答案】解：(1)在▵ABC中，由余弦定理可得：cs∠BCA=AC2+BC2−AB22AC⋅BC
∴cs∠BCA=9+8−52×3×2 2= 22；
(2)sin∠ACD=sin∠BCD−∠BCA=sin∠BCDcs∠BCA−cs∠BCDsin∠BCA
=513⋅ 22+1213⋅ 22=17 226
sin∠ADC= 1−cs2∠ADC=25
在▵ACD中，由正弦定理可得：ACsin∠ADC=ADsin∠ACD
∴325=AD17 226⇒AD=25552 2

【解析】略
16.【答案】(1)证明：连接BD与AC交于点O
∵AD=CD=3，∠ADC=120∘
∴∠DCA=30∘，AC=3 3 又AB=3，BC=6
∴∠CAB=90∘，∠ACB=30∘，∴四边形ABCD是等腰梯形
AD/​/BC且AD=13BC
∴AO=13AC=13EF=MF，∴四边形AOFM是平行四边形
∴AM//OF又AM⊄面BDF，OF⊂面BDF，∴AM//平面BDF，
(2)∵平面ACFE⊥平面ABCD，且四边形ACFE是矩形∴AE⊥平面ABCD
建立如图所示空间直角坐标系，由BF与平面ABCD所成角为π6，得CF=2 3
∴B(0,3,0)C(3 3,0,0)F(3 3,0,2 3)E(0,0,2 3)D3 32,−32,0
BE=(0,−3,2 3) BD=3 32,−92,0
BC=3 3,−3,0 BF=3 3,−3,2 3
设平面BED的法向量为n1=(x,y,z)，则(0,−3,2 3)⋅(x,y,z)=−3y+2 3z=03 32,−92,0⋅(x,y,z)=3 32x−92y=0
∴n1=2 3,2, 3
设平面BCF的法向量为n2=x,y,z，
则3 3,−3,0⋅(x,y,z)=3 3x−3y=03 3,−3,2 3⋅(x,y,z)=3 3x−3y+2 3z=0
∴n2→=1, 3,0
∴csθ=n1⋅n2n1n2=2 5719

【解析】略
17.【答案】解：(1)
由题意，当n≥2时，2Sn=n+1an−2，且a1=1，
若n=2，则2S2=2a1+a2=3a2−2，即a2=4，
当n≥3时，2Sn−1=nan−1−2，
两式相减得，2Sn−2Sn−1=2an=n+1an−nan−1，
整理得ann=an−1n−1，即ann=an−1n−1=⋯=a22=2，
所以an=2n．
综上所述，an=1,n=12n,n≥2．
(2)
因为bn=2anan+1=24,n=122n2n+2,n≥2=12,n=1121n−1n+1,n≥2,
设数列bn的前n项和为Tn，
当n=1时，Tn=b1=12，
当n≥2时，Tn=b1+b2+b3+⋯+bn=12+1212−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=12+12×12−1n+1=34−12n+1，
此时n=1时适合上式，
所以Tn=34−12n+1．

【解析】【分析】(1)根据an和Sn的关系，分n=2和n≥3两种情况讨论求解即可；
(2)利用裂项相消法求和即可．
18.【答案】解：(1)
易知9.39=8.57+0.82，所以根据正态分布区间公式有PX>9.39=Px>μ+σ=1−Pμ−σ≤x≤μ+σ2=0.16，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16，
则Y∼B2,0.16，所以：PY=1=C21×0.16×1−0.16=0.2688；
(2)
因为t=0.2x+2.2，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.2×3+2.2=7.4，
u4=25.20.2×4+2.2=8.4,u5=30.080.2×5+2.2=9.4，
所以x=15×1+2+3+4+5=3,u=15×6.1+6.7+7.4+8.4+9.4=7.6，
则 5i=1 (xi−x)(ui−u)=8.3，i=15xi−x2=10
由公式可知b^= 5i=1 (xi−x)(ui−u) 5i=1 (xi−x)2=8.310=0.83,a^=u−b^x=7.6−0.83×3=5.11，
即u=0.83x+5.11．

【解析】【分析】(1)利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可；
(2)利用最小二乘法的计算公式求值即可．
19.【答案】解：(1)
a=2时，fx=2lnx−x+1x,
则f′x=2x−1−1x2=−x2+2x−1x2=−x−12x2≤0，故fx在1,+∞单调递减，
故fx≤f1=0，故x≥1时，fx≤0，
(2)
(i)f′x=ax−1−1x2=−x2+ax−1x2，
由于fx有两个不同的极值点x1,x2x1故x1,x2x1故Δ=a2−4>0x1+x2=a>0x1x2=1>0，解得a>2，
故2(ii)由于x1+x2=ax1x2=1>0，所以x1=1x21，
由于x1+x2=1x2+x2≤4，故1fx2=alnx2−x2+1x2=x1+x2lnx2−x2+1x2=1x2+x2lnx2−x2+1x2，
令gx=1x+xlnx−x+1x,x∈1,2+ 3,
故g′(x)=−1x2+1lnx+1x+x1x−1−1x2=x2−1x2lnx，
当10，故gx在1故gx≤g2+ 3=12+ 3+2+ 3ln2+ 3−2+ 3+12+ 3=4ln2+ 3−2 3，
由于2+ 32=7+4 3<15<2.53=15.625因此gx≤f2+ 3=4ln2+ 3−2 3<4× 3−2 3=2 3，
故fx2<2 3．

【解析】【分析】(1)求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
(2)根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解a的范围，利用x1=1x2方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；
2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08