南宁市第三十三中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份南宁市第三十三中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 下列各项中，能组成集合的是， 已知集合,则下列结论正确的是， 已知集合，若，则的取值可以是， 已知集合，，若， 全集U=R，若集合，， 的相反数是等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟总分：150分
一､单选题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
1. 下列各项中，能组成集合的是（ ）
A. 高一（3）班的好学生B. 嘉兴市所有的老人
C. 不等于0的实数D. 我国著名的数学家
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合中的元素具有确定性可得选项.
【详解】∵对于A、B、D选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．
∴A、B、D选项不能构成集合．
故选:C．
【点睛】本题考查集合的元素的特征之一：确定性，属于基础题.
2. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|2C. {x|1≤x<4}D. {x|1【答案】C
【解析】
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
3. 已知，，则集合A与集合B之间的关系为（ ）
A. B. 
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合间的基本关系判断即可.
【详解】，，
因为，所以为奇数，所以⫋.
故选：B．
二､多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
4. 已知集合,则下列结论正确的是（ ）
A. B. ⫋C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先确定,再分别利用集合间的基本关系进行判断即可.
详解】,即,故D正确;
,故A正确;
⫋,故B正确;
,故C错误.
故选:ABD.
5. 已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；
【详解】解：因为，所以，所以或；
故选：AB
三､填空题：（本题共2小题，每小题5分，共10分）
6. 已知集合，，则 ___________；
【答案】
【解析】
【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：.
7. 已知集合，则集合的所有子集的个数是________.
【答案】32
【解析】
【分析】
根据条件求出集合B中的元素即可．
【详解】因集合，则集合，
所以集合B的所有子集的个数是个，
故答案为：.
四､解答题：（本题共2小题，每小题12分，共24分）
8. 已知集合，，若.
（1）求实数的值；
（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据元素与集合的属于关系的定义进行分类讨论进行求解即可；
（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】解：（1）∵，∴或者
得或，
验证当 时，集合，集合内两个元素相同，故舍去
∴
（2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.
由一元二次方程根与系数的关系，得.
【点睛】本题考查了已知集合与元素属于关系的应用，考查了集合相等的定义，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.
9. 全集U=R，若集合，.
（1）求A∩B；AB；
（2）若集合，AC=C，求a的取值范围.
【答案】（1）A∩B，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据交集与并集的概念进行计算可得结果；
（2）根据子集关系列式可得结果.
【小问1详解】
∵集合，，
∴A∩B，；
【小问2详解】
∵AC=C，
∴A⊆C，又C={x|x>a}，，
∴.
五､单选题（共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
10. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由相反数的定义即可得解.
【详解】因为数相反数为，所以的相反数是.
故选：B.
11. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐项判断可得答案．
【详解】选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.
故选：A．
12. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A. 调查某池墙中现有鱼的数量
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛
D. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
【答案】C
【解析】
【分析】选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
【详解】调查某池塘中现有鱼的数量，应采用抽样调查，故选项A不合题意；
调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查，故选项B不合题意；
选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛，适宜采用全面调查，故选项C符合题意；
调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应采用抽样调查，故选项D不合题意．
故选：C．
13. 已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离、圆的半径之间的大小关系可判断两者之间的位置关系.
【详解】由题意，因此直线和圆相交，而D选项中的内含是属于圆与圆之间的位置关系.
故选：B.
14. 下列运算结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同底数幂乘法、除法法则，以及幂的乘方公式逐一验证即可.
【详解】对于A选项：由同底数幂除法公式有，故A选项不符题意.
对于B选项：由幂的乘方公式有，故B选项不符题意.
对于C选项：由同底数幂乘法公式有，故C选项不符题意.
对于D选项：由于与不是同类项，所以不能合并为，故D选项符合题意.
故选：D.
15. 如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】平行四边形ABED的底边为，高为，
【详解】解：由题意得，平行四边形ABED的底边为，高为，
所以其面积为，
故选：D
16. 如图，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（ ）

A. 6B. 10C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由题意直线垂直平分线段，所以由垂直平分线的性质可以得到，
进而可以将的周长转化为已知条件的线段的和.
【详解】注意到直线垂直平分线段，
因此由垂直平分线的性质可知；
又的周长，结合可知
的周长；
由已知且，
所以的周长.
故选：C.
17. 四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点､窥衡杆与四分仪的一边交于点.图2中，四分仪为正方形.方井为矩形.若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5.则井深为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后可证得，再由相似的性质结合题意可求得结果.
【详解】因为四边形为正方形，所以，
因为，所以，
因为四边形为知形，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，解得，
所以，
故选：A
18. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱；，根据题意，可列方程组为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由“每人出钱，还差钱”和“每人出钱，还差钱”可得关系，联立得到方程组.
【详解】根据“每人出钱，还差钱”得：
根据“每人出钱，还差钱”得：，联立得方程组：
故选
【点睛】本题考查利用方程组求解实际问题，关键是能够根据已知中的等量关系建立起合适的方程，属于基础题.
19. 如图是甲､乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论正确的是（ ）

A. 在0到6秒内甲的速度每秒增加6米/秒
B. 乙前3秒行驶的路程为15米
C. 两车到第2.5秒时行驶的路程相等
D. 在0至6秒内甲的速度都大于乙的速度
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加，由坐标要求出其每秒增加的速度，对于B，根据图象由路程公式求解即可，对于C，求出两图象的交点坐标，2.5秒时两速度大小相同，再结合图象求解即可，对于D，由图象直接判断即可.
【详解】对于A，根据图象得，在0到6秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到36米/秒，则每秒增加米，所以A正确，
对于B，由图象可知，乙前3秒的速度不变，为15米/秒，则行驶的路程为米，所以B错误，
对于C，由于甲的图象是过原点的直线，速度每秒增加6米/秒，可得（分别表示速度、时间），
将代入，得秒，则秒前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第秒时行驶的路程不相等，所以C错误，
对于D，由图象可知，在0到秒内甲的速度小于乙的速度，秒时甲､乙两车的速度相同，大于秒时，甲的速度大于乙的速度，所以D错误，
故选：A
20. 如图，正方形内接于，其边长为4，则的内接正三角形的边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据正方形的性质结合勾股定理求出，进而得到圆的半径，再连接，过作交于，利用等边三角形的性质即可求解.
【详解】连接，

因为正方形内接于，其边长为4，
所以，为直径，
所以的半径，
连接，过作交于，
因为三角形是正三角形且内接于，
所以，，
所以，
所以正三角形的边长,
故选：D
六､填空题（本题共3小题，每小题2分，共6分）
21. 若分式的值等于0.则的值___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由分式方程求解.
【详解】解：由得，
故答案为：2
22. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是___________.
【答案】##0.02
【解析】
【分析】利用概率公式进行计算即可.
【详解】∵每张奖券被抽中的可能性相同,
∴只抽1张奖券共有1000种等可能的结果，其中中奖有种等可能的结果,
∴只抽1张奖券恰好中奖的概率
故答案为：.
23. 若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形的弧长公式求解.
【详解】因为，又扇形的圆心角为，半径为，
所以它的弧长为，
故答案为：
七､解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）
24. （1）计算：.
（2）解方程：.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的几何意义和特殊三角函数值和指数幂的运算求解；
（2）利用一元二次不不等式的解法求解.
【详解】（1），
；
（2）方程，
可化简为，
即，
即，
解得或；
25. 2023年5月12日，是四川汶川地震15周年纪念日，也是我国第15个“防灾减灾日”.为了解学生对“防灾减灾知识”的了解程度，某校随机抽取了八年级､九年级各20名学生进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数表示，单位：分），且分为，，三个等级，分别是：优秀为等级：；合格为等级：；不合格为等级：.分别绘制成如下统计图表.其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在等级，等级测试成绩情况分别为：75，82，77，82，80，85，89，86，82，88，87；九年级学生测试成绩数据为等级共有个人.

八年级､九年级两组样本的平均数､中位数､众数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；并补全八年级抽取学生测试成绩频数分布直方图；
（2）根据以上信息，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八､九年级分别有1400名.请估计该校八､九年级学生中成绩为合格的学生共有多少名？
【答案】（1），，，作图见详解.
（2）九年级学生的测试成绩更好，理由见详解.
（3）1610名.
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图，根据中位数，众数的定义可得，的值，求出八年级A等级的人数，即可补全八年级的直方图；
（2）可从平均数，中位数，众数等角度分析求解；
（3）用样本估计总体解答即可.
【小问1详解】
，，；
故答案为：，，.
补全八年级抽取学生测试成绩频率分布直方图如下：
【小问2详解】
九年级学生的测试成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数相同，但九年级学生的测试成绩的中位数和众数均高于八年级，所以九年级学生的测试成绩更好.
【小问3详解】
（人），
估计该校八､九年级学生中成绩为合格的学生共有1610名.
26. 如图，小明想要测量大树和楼房的高度，先在处用高1.5米的测角仪测得大树顶端的仰角，此时楼房顶端恰好在视线上.再向前走7米到达树根处，又测得楼房顶端的仰角，､､三点在同一水平线上.

（1）求大树的高度；
（2）求楼房的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：，，）.
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系可求得结果，
（2）根据题意可得，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答.
【小问1详解】
由题意得，米，米，，
在中，，
所以（米），
所以（米），
所以大树的高度米，
【小问2详解】
由题意得，设米，
因为米，所以米，
在中，，
所以米，
在中，，
所以（米），
所以，解得，
所以（米），
所以（米），
所以楼房的高度约为米.
27. 某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.
（1）写出运输公司完成任务所需的时间（天）与平均每天的工作量（万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多0.5万立方米，工期比原计划减少了24天，那么实际平均每天运送土石方多少万立方米？
【答案】（1），；
（2）3
【解析】
【分析】（1）由题给数量关系即可得函数关系式，再由y的范围确定x的范围；
（2）由题给等量关系列方程即可得解.
【小问1详解】
解：由题意得：，
因为，
所以，
解得，
所以自变量的取值范围是；
【小问2详解】
设原计划平均每天运送土石方a万立方米,
由题意得：，
即，
解得或（舍去）.
所以实际平均每天运送土石方万立方米.
28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于､两点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为.

（1）求抛物线解析式；
（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的.求此时点的坐标；
（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于､两点（在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（､､三点为逆时针顺序），连接，求长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由直线求出点，坐标，代入，即可求抛物线的解析式；
（2）设，先求出，则，由题意，可求得点的坐标；
（3）将点绕点顺时针旋转到，连接，，，可证明，则可得在以为圆心，2为半径的圆上运动，又由，，则，数形结合可求得长度的取值范围.
【小问1详解】
由直线，
令，则，，
令，则，，
将点代入，得，，
.
【小问2详解】
设，
又，令，解得或，
，，，
又，，即，
又点为抛物线上轴下方一动点，，解得或，
或；
【小问3详解】

将点绕点顺时针旋转到，连接，，，
，，
，
又，，，
，，，
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，，
，
的最大值为，的最小值为，
.年级
平均数
中位数
众数
八年级
85
九年级
85
87
84