2020-2021学年广西南宁市第三十三中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2020-2021学年广西南宁市第三十三中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．角的终边经过点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出，然后根据三角函数的定义即可得出

【详解】

由点得

所以

故选：D

【点睛】

本题考查的是三角函数的定义，属于基础题.

2．已知向量，，且，则实数（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】利用向量平行的坐标运算即可得到答案.

【详解】

因为向量，，且，

所以，即．

故选：D

【点睛】

本题主要考查根据向量平行求参数，同时考查平面向量的坐标运算.

3．直线的倾斜角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】斜率，故倾斜角为，选B.

4．已知向量，的夹角为60°，，，则（    ）

A．1 B． C．3 D．2

【答案】A

【解析】根据，利用向量的数量积运算结合向量，的夹角为60°，求解.

【详解】

∵向量，的夹角为60°，，

∴．

∴，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

5．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

若，线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（    ）

A．增加1个单位长度，则一定增加个单位长度

B．减少1个单位长度，则必减少个单位长

C．当时，的预测值为万盒

D．线性回归直线，经过点

【答案】C

【解析】通过线性回归方程可以进行预测而不能做出确定的判断，排除A，B选项；线性回归方程一定过样本中心点，排除D选项；令，代入方程求，可得C正确．

【详解】

由，得每增（减）一个单位长度，不一定增加（减少）0.7，而是大约增加（减少）0.7个单位长度，故选项A,B错误；由已知表中的数据，可知，则回归直线必过点，故D错误；代入回归直线，解得，即，令，解得万盒，

故选：C

【点睛】

本题考查了线性回归方程的性质，正确掌握线性回归方程的性质是解题的关键．

6．函数图象的对称轴方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据三角函数对称轴方程是，可令，即可求解函数的对称轴方程.

【详解】

由题意，令

则

则为函数的对称轴方程.

故选：D.

【点睛】

本题考查型三角函数的对称轴方程问题，属于基础题.

7．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，，599，600.从中抽取60个样本，如表提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 35 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ）

A．578 B．535 C．522 D．324

【答案】B

【解析】根据随机数表法抽取相应数字，超过600和前面重复的去掉．

【详解】

解：根据题意，808不合适，436，789不合适，533，577，348，994不合适，

837不合适，522，535为满足条件的第六个数字．

故选：．

【点睛】

本题主要考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题．

8．已知向量，，.若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得的坐标，由题意可得，代入数据可得关于的方程，解之可得．

【详解】

解：由题意，，

所以

，，

代入数据可得，

解之可得

故选：．

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属于基础题．

9．若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据循环结构的程序框图,依次算出输出值为26时满足的条件,即可得解.

【详解】

根据程序框图可得

所以

所以当输出结果为26时,为是的条件.且当时都为否

故M处可填入的条件为

故选:A

【点睛】

本题考查了循环结构程序框图的应用,根据输出值分析判断框,属于基础题.

10．在边长为3的菱形中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出图形，根据条件得，然后由，进行数量积的运算即可．

【详解】

解：如图，

，，

，且，

又，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

11．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法正确的是（    ）

A．事件“”发生的概率为

B．事件“是奇数”与“，同为奇数”互为对立事件

C．事件“”与“”互为互斥事件

D．事件“且”发生的概率为

【答案】D

【解析】计算出事件“”发生的概率判断A；根据互斥事件、对立事件的概念判断B和C，计算出事件“且”发生的概率判断D．

【详解】

连掷一枚均匀的骰子两次，基本事件的总数是，即的情况有36种，事件“”包含基本事件：（1，6），（6，1），共2个，所以事件“”发生的概率为，故A错；

，同为奇数或同为偶数时，是偶数，所以事件“t是奇数”与“，同为奇数”是互斥事件，不是对立事件，故B错；

t的所有取值为0，1，2，3，4，5，所以事件“”与“”既不互斥也不对立，故C错；

事件“且”包含基本事件：（1，5），（1，6），（5，1），（6，1），共4个，所以事件“且”发生的概率为，故D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法，互斥事件与对立事件的概念，还考查了运算求解和理解辨析的能力，属于基础题.

12．已知点，，若圆C：上存在点P，使得，则实数m的最大值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】首先将圆配成标准式，求出圆心坐标和半径，则点的轨迹为以为直径的圆，再根据点在圆上，则两圆有公共点，由两圆的圆心之间的距离的范围求出参数的取值范围.

【详解】

解：根据题意，圆C：，即，

其圆心为，半径.

的中点为原点O，点的轨迹为以为直径的圆，

若圆C上存在点，使得，则两圆有公共点，

又，即有且，解得，

即或，即实数的最大值是，故选：

【点睛】

本题考查由圆与圆的位置关系求出参数的取值范围，属于中档题.

二、填空题

13．经过点且与直线平行的直线方程为______．

【答案】．

【解析】设经过点且与直线平行的直线方程为，然后将求解.

【详解】

设经过点且与直线平行的直线方程为，

把代入，得：，

解得，

∴经过点且与直线平行的直线方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.

14．若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率是______．

【答案】

【解析】利用指数不等式的解法求得，然后由几何概型的长度类型求解.

【详解】

因为，

所以，

所以事件“”发生的概率是，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率求法以及指数不等式的解法，属于基础题.

15．若圆：与圆：关于直线对称，则______.

【答案】

【解析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上，圆的半径也为，即可求出参数的值.

【详解】

解：因为圆：，即，

圆心，半径，

由题意，得与关于直线对称，

则解得，，圆的半径，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.

16．如图在平行四边形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点连接AE，BF交于点G.若，则________.

【答案】

【解析】延长CD，BF交于点H，可得，，从而，根据即可求解.

【详解】

如图延长CD，BF交于点H，

易证.所以.

又易证.所以.

则.

所以，，.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量加法的三角形法则以及向量共性定理，属于基础题.

三、解答题

17．已知．

（1）求的值；

（2）若，且，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用诱导公式结合弦化切思想可得出关于的等式，即可解得的值；

（2）利用两角差的正切公式求得的值，结合角的取值范围可求得的值.

【详解】

（1），

解得；

（2）由两角差的正切公式得.

，因此，.

【点睛】

本题考查利用诱导公式、弦化切思想求值，同时也考查了利用两角差的正切公式求角，考查计算能力，属于基础题.

18．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.

（1）求，的值；

（2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.

【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．

【解析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出，，

（2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果．

【详解】

解：（1）甲班的平均分为：；

解得，

乙班7名学生成绩的中位数是85，，

（2）乙班平均分为：；

甲班7名学生成绩方差，

乙班名学生成绩的方差，

两个班平均分相同，，

乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．

19．已知直线，，且垂足为．

（1）求点的坐标；

（2）若圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为2，求圆的标准方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得直线的方程，联立两个直线的方程，解可得的坐标，即可得答案．

（2）根据题意，分析可得圆心在直线上，设的坐标为，将其代入直线的方程，计算可得的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．

【详解】

解：（1）根据题意，直线，，

若，则有，解可得，

则直线的方程为，即；

联立两直线的方程：，解可得，即的坐标为；

（2）根据题意，若圆与直线相切于点且且垂足为，

则圆心在直线上，设的坐标为，则有，解可得，

则圆心的坐标为，

圆的半径，

则圆的标准方程为．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．

20．已知向量，，函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，时，求函数的最值．

【答案】（1）；（2）函数的最大值、最小值分别为：，．

【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．

（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．

【详解】

（1）．

由，，

可得，，

∴单调递增区间为：．

（2）若．

当时，，

即，则，

所以函数的最大值、最小值分别为：，．

【点睛】

本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；

（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．

【答案】（1）30；（2）．

【解析】（1）根据频率分布直方图求出学生身高在[120，130）内的频率，然后由样本容量100求解.

（2）根据采用分层抽样的方法得到身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生数，然后利用古典概型的概率求解.

【详解】

（1）由频率分布直方图得：

学生身高在[120，130）内的频率为：，

∴学生身高在[120，130）内的人数为：．

（2）采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，

则从[120，130）内的学生中抽取：人，

从[130，140）内的学生中抽取：人，

从[140，150]内的学生中抽取：人，

设[120，130）内的学生为A，B，C，[130，140）内的学生为a，b，[140，150] 内的学生为c，

所以从6人中选取2人，基本事件 A，B，C，共15种，

身高在[120，130）和[130，140）内各1人包含的基本事件，共6种，

∴身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

22．已知圆与两条坐标轴都相交，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）若动点在直线上，过引圆的两条切线，，切点分别为，，求证：直线恒过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径求得值即可；

（2）设，写出以为直径的圆的方程，与圆联立可得公共弦所在直线方程，由直线系方程可得直线恒过定点．

【详解】

（1）圆：的圆心坐标为，半径为，

∵圆与直线相切，

∴，即或．

又圆与两条坐标轴都相交，∴．

则圆的方程为：；

（2）设，则，，，四点共圆，

的中点为（，），，

则以为直径的圆的方程为，

整理得：．

又圆：，

两圆联立可得公共弦所在直线方程为．

∴直线恒过定点（1，0）．

【点睛】

本题主要考查圆的方程以及圆与圆的公共弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.