广西南宁市新民中学2024-2025学年高一上学期适应性考试（10月）数学试题

这是一份广西南宁市新民中学2024-2025学年高一上学期适应性考试（10月）数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合，，，则（ ）.
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A.B.
C.D.
4.设，则“”是“”成立的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.集合，则集合的真子集个数为（ ）
A.7个B.8个C.15个D.16个
6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A.B.C.D.
7.已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A.1B.2C.D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9.下列选项正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若且，则D.若，则
10.已知关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.不等式的解集是D.不等式的解集为
11.已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A.的最大值为4B.的最小值为8
C.的最小值为3D.的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，且，则实数的范围是______.
13.若，，则的取值范围为______
14.设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集：
③集合为“完美集合”：
④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中正确结论的序号是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.（满分13分）（1）已知，求函数的最小值：
（2）设，，且，求的最小值.
16.（满分15分）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
17.（满分15分）已知命题：对任意实数，不等式恒成立，命题：关于的方程无实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
18.（满分17分）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略，中国正在大力实施新能源汽车发展计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：
（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
19.（满分17分）已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
高一上学期适应性考试数学试题（答案）
1.D【解析】因为，，，所以，
则.故选：D
2.A【解析】命题“，”的否定是“，”，故选：A.
3.B【解析】如图所示，A.对应的是区域1；
B.对应的是区域2；
C.对应的是区域3；
D.对应的是区域4.故选：B
4.B【解析】“”解得或，，解得或；
所以，所以“”是“”成立的必要而不充分条件.
5.C【解析】由和可得，所以集合的真子集个数为个.故选：C
6.B【详解】可化为，解得，
由必要不充分条件的定义可得不等式的一个必要不充分条件是，故选：B
7.D【详解】方法1.代入特殊值判断；方法2、因为，移项得，所以，但是当时，不成立，故，由，得，可得，可得.综上所述，不等式成立，故选：D.
8.B【解析】由，可得，由，可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.故选：B
9.BC【解析】对A：若，则，故A错误；
对B：由，则，，即，故B正确；
对C：由，则，因为，则，故，故C正确
对D：令，，，满足，但是，故D错误；故选：BC.
10.ACD【解析】由题意可知和3是方程的两根，且，
，，，，，即选项A正确；
不等式的解集为，当时，有，即选项B错误；
不等式等价于，，即选项C正确；
不等式等价于，即，
或，即选项D正确.故选：ACD.
11.ABD【解析】因为正数，满足，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
解得，所以，故的最大值为4，故A正确；
，
即，又，所以，
所以的最小值为8，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；
，当且仅当，即，时等号成立，
故D正确.故选：ABD
12.【答案】【解析】因为，集合，所以得：，
即等价于，解之得：.故答案为：.
13.【答案】【解析】因为，所以，则，
又，所以，则，即的取值范围为.故答案为：
14.【答案】①③【解析】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；
对于③，集合，
在集合中任意取两个元素，，，其中a、b、c、d为整数，
则，，，
集合为“完美集合”，③对；
对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.故答案为：①③
15.【详解】（1），，
（当且仅当，即时取等号），；
（2），，，，
（当且仅当，即，时取等号），.
16.【详解】（1）当时，，又，
则，，所以.
（2）若，则，
若，则，满足题意：
若，则；
综上，.
17、【详解】若真，对任意实数，不等式恒成立.
当时，显然对于任意实数，不等式不都成立
当时，，解得，真时，；
（2）若真，则方程无实数根，，真时，.
命题、中有且仅有一个真命题，
当真假时，且，故实数的取值范围是：；
当假真时，且，故实数的取值范围是：；
综上，实数的取值范围为
18.【详解】（1）由题意知利润收入总成本，
所以利润，
故2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当，即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元.
19.【详解】（1）由
.
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：，
因为，所以：或.
综上可知：当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：：
当时，原不等式的解集为：.
（2）不等式，即，即.
由恒成立，则在时有解，
设，时有，
，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，实数的取值范围为.