江西省上饶市玉山县紫湖初级中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江西省上饶市玉山县紫湖初级中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了解答题（一)，解答题（二)，解答题等内容，欢迎下载使用。

(考试时间：120分钟 总分120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡．
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm
3．有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（ ）
A．1cmB．2cmC．7cmD．10cm
4．若一个多边形的每一个内角都等于108°，则它是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
5．点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．无法确定
6．已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
7．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性
8．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线B．三边垂直平分线
C．三条中线D．三条高
9．如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 个B．7 个C．8 个D．9个
二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．若点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 ．
12．如图，AB＝DC，请补充一个条件： 使△ABC≌△DCB．（填其中一种即可）
13．如图，∠1＝ ．
14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ °．
15．如图，某同学将三角形玻璃打碎，现要到玻璃店配一块完全相同的玻璃，应带 去．
16．如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 ．
三、解答题（一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17．（6分）计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
18．（6分）如图，∠A=50°，OB、OC为角平分线，求∠BOC．
19．（6分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；
（2）写出AA1的长度．
四、解答题（二)(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
20．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
21．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB＝DE，AC＝DF．
五、解答题(三)(本大题共2小题,共24分)
23．（10分）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当2x﹣1=x+1时，解x= ，此时 构成三角形（填“能”或“不能”）．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解x= ，此时 构成三角形（填“能”或“不能”）．
请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．
24．（14分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是： ．
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．
2023-2024学年紫湖中学八年级（上）期中数学试卷答案
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16， 16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3．有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（ ）
A．1cmB．2cmC．7cmD．10cm
【分析】根据三角形的三边关系可得6﹣4＜第三根小棒的长度＜6+4，再解不等式可得答案．
【解答】解：设第三根小棒的长度为xcm，
由题意得：6﹣4＜x＜6+4，
解得：2＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．角形的两边差小于第三边．
4．若一个多边形的每一个内角都等于108°，则它是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【分析】利用邻补角先由多边形的每一个内角都等于108°得到每一个外角都等于72°，然后根据多边形的外角和等于360度可计算出边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都等于108°，
∴一个多边形的每一个外角都等于180°﹣108°＝72°，
∴多边形的边数＝＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．
5．点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．无法确定
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6．已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
【分析】要求∠F的大小，利用△ABC≌△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝80°
∴∠F＝180﹣∠D﹣∠E＝50°
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系．
7．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
8．【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：B．
9．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=∠DAE，AE=AD，
∴ABE≌△ACD，故①正确．
∵ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ADC=180°，
∴∠BFD=180°﹣∠EAD=180°﹣70°=110°，故③正确．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=35°．
又∵∠DAE=70°，
∴AC平分∠EAD．
又∵AE=AD，
∴AC⊥EF，AC平分EF．
∴AC是EF的垂直平分线，故④正确．
由已知条件无法证明BE=EF，故②错误．
故选：C．
10．【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．若点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 （4，2） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好轴对称的点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12．如图，AB＝DC，请补充一个条件： AC＝BD 使△ABC≌△DCB．（填其中一种即可）
【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等或一组角相等，可求得答案．
【解答】解：
∵AB＝CD，BC＝CB，
∴可补充AC＝BD，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故答案为：AC＝BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
13．如图，∠1＝ 70° ．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此进行计算．
【解答】解：由三角形外角性质可得，130°＝∠1+60°，
∴∠1＝130°﹣60°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故填135．
【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
15．如图，某同学将三角形玻璃打碎，现要到玻璃店配一块完全相同的玻璃，应带 ③ 去．
【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故答案为：③．
【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．在解答时要求对全等三角形的判定方法的运用灵活．
16．如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 7cm ．
【分析】根据折叠性质得到DC＝DE，BE＝BC＝6cm，则AE＝2cm，再根据三角形周长定义得到△AED周长＝AD+DE+AE，然后利用DC代替DE得到△AED周长═AD+DC+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）．
【解答】解：∵过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴DC＝DE，BE＝BC＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∵△AED周长＝AD+DE+AE
＝AD+DC+AE
＝AC+AE
＝5cm+2cm
＝7cm．
故答案为7cm．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．【解答】解：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
=12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
=4a2﹣2a+1；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y3．
18．【解答】解：∵OB、OC为角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC，
∴2∠OBC+2∠OCB=180°﹣∠A，
∴180°﹣∠A=2（180°﹣∠BOC），
∴∠BOC=90°+∠A=90°+×50°=115°．
19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可知，点A与点A1之间10个格子，
所以AA1的长度为10．
四、解答题（二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
【分析】首先根据角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B＝∠C．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴∠B＝∠C（8分）
【点评】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质求得DE＝DF，是关键的一步．
21．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AD是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
22．（10分）如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB＝DE，AC＝DF．
【分析】结合已知条件可由ASA得出△ABC≌△DEF，进而可得出结论．
【解答】证明：∵FB＝EC，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，AC＝DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
五、解答题(三)(本大题共2小题,共24分)
23．【解答】解：（1）①当2x﹣1=x+1时，解x=2，此时3，3，4，能构成三角形．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解x=1，此时1，2，1不能构成三角形．
故答案为2，能，1，不能；
（2）③当x+1=3x﹣2，解得x=，此时2，，能构成三角形．
24．（11分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE ＝ CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是： EF＝|BE﹣AF| ．
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠ACB＝180°． ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．
【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
E点在F点的左侧，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，
∴EF＝|BE﹣AF|；
故答案为＝，EF＝|BE﹣AF|．
②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立；
证明：如图2中，
∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，
∴EF＝|BE﹣AF|；
故答案为∠α+∠ACB＝180°．
（2）结论：EF＝BE+AF．
理由：如图3中，
∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC＝∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF＝CE，BE＝CF，
∵EF＝CE+CF，
∴EF＝BE+AF．
【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．