南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期月考数学试题（一）（原卷版）

这是一份南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期月考数学试题（一）（原卷版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（ ）
A B. C. D.
4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 极差是4B. 众数小于平均数
C. 方差是1.8D. 数据的80%分位数为4
10 已知，，且，则（）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值B. 直线平面
C. 当时，D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______．
13. 已知第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
（2）若认定评分在80,90内学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．

（1）求证：平面平面
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
18. 已知内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

（1）求证：；
（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
（3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．